新着の『よくある質問Ｑ＆Ａ』
● 実カップから仮想カップまでの長さが『狙い幅』じゃないんですか？ （第三章 関連） 2011年10月03日
● 傾斜面でのショットの狙い方を解説して下さい。 （その他全般について 2011年02月10日
● ランニングアプローチでの狙い方はどうしたらいいですか？ （その他全般について） 2011年02月03日
● パットが入る「確率」についてもっと説明して下さい。（前篇） （その他全般について） 2011年01月05日
● プラムボブ（吊り下げたパターを片目で見通す動作）でラインが読めるのでしょうか？
（その他全般について） 2010年12月03日
● 斜面でのスティンプ値測定はなぜ上り距離と下り距離の算術平均ではだめなのですか？
（第二、三章 関連） 2010年12月02日
● 「花模様＋焦点」でのラインの読み方と、従来からのラインの読み方とは何が違うのでしょうか？
（第三章 関連） 2010年11月19日
● 距離の打ち分けは「振り上げ幅の二乗に比例」ではなく、単純に「距離＝振り上げ幅」ではないですか？
（第四章 関連） 2010年11月09日
● 「斜面が傾斜している方向にしか芝目はできない」との記事がありましたが、そうなんでしょうか？
（第四章 関連） 2010年11月08日
『よくある質問Ｑ＆Ａ』： 総目次
● 「曲がりの頂点を狙え」と教えられました。それではだめなのでしょうか？ （第一章 関連） 2010年7月09日
● 曲がり方には無関係に距離感は決まるのですか？ 曲がり方は考えずに距離感だけを
求める場合もあるのでしょうか？ （第二章 関連） 2010年7月09日
● 斜面でのスティンプ値測定はなぜ上り距離と下り距離の算術平均ではだめなのですか？
（第二、三章 関連） 2010年12月02日
● 実カップから仮想カップまでの長さが『狙い幅』じゃないんですか？ （第三章 関連） 2011年10月03日
● 最大傾斜線が全然見えません。見定めるコツがありますか？ （第三章 関連） 2010年 7月09日
● 焦点距離を求める計算式や早見表はとても頭に入りません。焦点距離をもっと簡単に
決める方法はありませんか？ （第三章 関連） 2010年7月09日
● 焦点距離が仮想カップ距離の1/2という関係はどうして決まるのですか？ （第三章 関連） 2010年10月11日
● 花模様の図で、焦点と仮想カップとの関係がよく分かりません。 （第三章 関連） 2010年10月11日
● 「花模様＋焦点」でのラインの読み方と、従来からのラインの読み方とは何が違うのでしょうか？
（第三章 関連） 2010年11月19日
● 他の人のパットで花模様を推量できるようになるための良い訓練方法はありますか？
（第三章 関連） 2010年11月05日
● パットの距離はテークバック量の二乗に比例するのはどうしてですか？ （第四章 関連） 2010年9月29日
● 距離の打ち分けは「振り上げ幅の二乗に比例」ではなく、単純に「距離＝振り上げ幅」ではないですか？
（第四章 関連） 2010年11月09日
● 「高速グリーン」での狙い方はどのようなことを注意したらよいでしょうか？ （第四章 関連） 2010年10月29日
● ロングパットとショートパットでは狙い方は変わらないのですか？ （第四章 関連） 2010年9月07日
● 「斜面が傾斜している方向にしか芝目はできない」との記事がありましたが、そうなんでしょうか？
（第四章 関連） 2010年11月08日
● 振り幅が一定しません。振り幅を正確にするコツがありますか？ （第四章 関連） 2010年7月09日
● 絶対距離感養成の４メートルのパットを練習しようにも、家ではそんな空間がない場合は
どうしたらよいですか？ （第四章 関連） 2010年7月09日
● 演習問題のほとんどが先行するパットを参考にして自分の狙いを決める問題に
なっているのはどうしてですか？ （第五章 関連） 2010年7月09日
● テイクバックでパターが真っ直ぐ引けないため、ミスパットしてしまいます。 （第六章 関連） 2010年9月08日
● パットの時にヘッドアップが止まりません。 （第六章 関連） 2010年9月07日
● レーザー付きのデジタル傾斜計は、グリーンでの勾配や高低差の測定に使う以外に
使い道はありませんか？ （第六章 関連） 2010年7月09日
● 傾斜面でのショットの狙い方を解説して下さい。 （その他全般について） 2011年2月10日
● ランニングアプローチでの狙い方はどうしたらいいですか？ （その他全般について） 2011年2月03日
● パットが入る「確率」についてもっと説明して下さい。（前篇） （その他全般について） 2011年1月05日
● プラムボブ（吊り下げたパターを片目で見通す動作）でラインが読めるのでしょうか？
（その他全般について） 2010年12月03日
● どうも「目標ポイントに真っ直ぐな方向」が正しく見えないみたいです。 （その他全般について） 2010年9月14日
● この教本で狙い方をマスターしたら、総パット数は一気に減りますか？ ハンディキャップ
も減らせるのでしょうか？ （その他全般について） 2010年7月09日
２０１１年１０月０３日 （第三章 関連）
Q: 実カップから仮想カップまでの長さが『狙い幅』じゃないんですか？
教本49ページの「狙い幅の一覧表」で、例えば、1/100の勾配のグリーンでの距離4ｍのパットについては、「実カップから仮想カップまでの長さ」は40cmとなっています。仮想カップを狙ってパットするのですから、4ｍのパットの「狙い幅」は40cmということだと思うのですが、その直ぐ下の『真横』の欄に記載されている（4ｍの真横からのパットの）狙い幅は『1 cup半』、つまり20cm（15cm＋カップ半径5cm）となっていて、仮想カップまでの長さの40cmと食い違っています。
どちらが正しいのでしょうか？
Ａ： 43ページの図14-2【花模様パターンの法則性（狙いポイントと仮想カップ）】に表されている、実カップ、仮想カップ、狙いポイント、花模様の焦点、のそれぞれの関係を理解して下さい。
この図が勾配1/100、スティンプ値8.5ft、距離4ｍの時の「花模様」だとして以下に説明します。
カップの周り360度どの位置からのパットでもパターのフェースを向ける目標はたった一つで、図では×印で示されている「狙いポイント」です。この狙いポイントは「花模様の焦点」とも呼んでいます。（実カップの中心から焦点までの長さが「焦点距離」です）
狙いポイント（及び焦点と焦点距離）は一つしか存在しませんが、それに対して、赤い丸印で示した仮想カップはいくつも存在します。「狙いポイント」はパットを打つべき方向を示してはいますが、打つべき強さ（距離感）は表していません。狙うべき方向と同時に打つべき強さも加味した目標が「仮想カップ（＝図の赤丸）」です。
距離4ｍに対して、真上と真下（最大傾斜線に対して0度）の２地点からのパットでは、打つ強さの調整量はどちらも4ｍ（実カップまでの距離）±40cmと計算されますから、この２地点は一つの仮想カップを共有していて、実カップから真上（最大傾斜線上）に40cm離れた位置が仮想カップとなります。
0度地点からのパットにおける「実カップから仮想カップまでの長さ」（40cm）が決まると、その1/2が焦点距離であるという法則から、焦点距離は20cmであると決まります。
真横（90度）地点からのパットでは、狙う方向は同じく焦点（実カップの真上20cmの狙いポイント）に向けますが、距離感は実カップまでの実距離である4ｍに等しくなりますから（正確にはごく僅か実距離よりも強めとなる）、この場合は狙いポイント（×印）と仮想カップ（赤丸印）は一ヶ所に重なります。
0度と90度以外の角度の地点からのパットでは、方向の狙いは「狙いポイント」のままで変わりませんが、打つ強さ（距離感）はボールの地点に応じて0～20cmの範囲で狙いポイントよりも遠くしたり（カップよりも下から打つ場合）、近くしたり（カップよりも上から打つ場合）します。つまり、ボールの位置と狙いポイント（＝焦点）を結んだ線上で、狙いポイントの前後に0～20cm動いた位置が仮想カップの位置となります。それぞれの角度に対応する仮想カップを図に描きいれると、赤い丸印がリング状に連なった円になることが分ります。（図14-2を参照） この赤いリングの直径は、焦点距離に等しく20cmです。
このように「実カップから仮想カップまでの長さ」は20～40cmの範囲で変化するのですが、教本49ページの一覧表に表示されている「仮想カップまでの長さ」（上記の例では40cm）とは、0度のパットの時の実カップ/仮想カップ間の長さのことです。
以上の説明で、仮想カップ、狙いポイント、焦点距離の間の関係が理解いただけたと思いますが、『狙い幅』という用語は、花模様パターンの概念とは別の視点で使われる一般的な汎用語です。つまり、斜面の最大傾斜線に対するボール位置（角度）は一切無視して、単にボールの位置からカップを見て、カップの真横（直角）に何cm離れた地点を狙い方向の目標とするかというのが『狙い幅』です。従って、360度どの地点からのパットでも焦点および焦点距離（20cm）は常に一定ですが、狙い幅は最大傾斜線に対する角度に応じて変化してしまいます。図14-2から分るように、90度地点からのパットの時が狙い幅は最大（＝焦点距離20cm）で、当然、0度地点（真上や真下）からのパットの時の狙い幅は0（ゼロ）となります。
おそらく、質問された方は斜面に対して真横（90度）の位置からのパットの場合を強く意識して質問されているのだと思いますので、質問に対する直接的な回答としては次のようになります。
「教本の方法で算出される、実カップから仮想カップまでの（最大）長さの半分が『狙い幅』（真横の場合）となります」
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２０１１年０２月１０日 （その他全般について 関連）
Q: 傾斜面でのショットの狙い方を解説して下さい。
ランニングアプローチでのバウンド（跳ね）で進行方向がずれることによる「狙い」をどのようにして計算するかのQ&Aがありましたが、アプローチを打つ時にボールのライが爪先上がりや爪先下がりになっていた場合には、打った瞬間にスタンス（スウィング）の向きとは違う方向に球が飛び出してしまうため、この影響も「狙い」に読み込んでおく必要があります。アプローチに限らず、ショットでも同じですが、爪先上がり／爪先下がりでの打ち出し方向のずれをどのように読んだらいいでしょうか？
Ａ： 現実のショットでは、クラブのライ角を必ずしも斜面に合わせないとか、スイングプレーンが変わるとか、スピンの影響があるなどの様々な要因があるため、あくまでも（以下で解説する）理論的な狙い方は目安に過ぎません。理論的な解析から得られた結論は次のようなものです。爪先上がりの場合ですと、
● 「狙い幅」（ピンの右側に外す長さ）は、斜面の勾配の強さと打つクラブのロフトによる。
● 勾配が強いほど、ロフトが大きい（寝る）ほど、狙い幅は大きくなる。
● 9番アイアンやPWで打つ場合には、「狙いの角度」はほぼ斜面の角度と同じになる。
● 9番やPWの狙い幅を「標準」とすれば、5～8番アイアンの時の狙い目標は標準よりもピンに近くし、SWで打つ場合には標準よりも大きく右に外す。
● プラムボビングが有効に利用できる可能性あり。
斜面からのショットを考るには、ランニングアプローチの狙いについてのQ&Aの説明の中で、斜面に落ちたボールが跳ね返った後の挙動についての部分が応用できます。以下の説明では、アプローチもショットも特に区別はせず、打ち出されたボールは鉛直面（図中のピンクの三角形）に沿って、決して（左右に）はみ出すことなくを放物線を描いて落下するものとします。実際には特にショートアイアンなどではかなりのバックスピン量がありますので、斜面に沿って打たれたショットのバックスピンにはサイドスピンの要素が入ってしまいますから、左右に曲がりやすく、真っ直ぐな球筋とはなかなかならないのですが、便宜上、スピンの影響は無視することにします。
斜面なりにクラブがソールされ、斜面なりのスイングプレーンでボールが打たれたとすると、Q&Aの図のように、最初にボールは、斜面に垂直な緑色の平面に沿って赤い矢印方向に打ち出されます。そのボールには（打ち出された瞬間から）重力が鉛直方向にかかりますから、ボールは（緑色の平面に沿ってではなく）ピンクの三角形の平面の中を放物線を描いて飛んでいきます。従って、このピンクの平面を前方に延長して、その延長したピンク面が地表にぶつかる線の上にボールは落ちてくることになります。
このピンクの平面がスタンスの方向からずれる角度をχとして、爪先上がりの斜面の勾配をαとし、更に、ショットを打ち出す迎角をωとすると、χは次の式で表されます。
tanχ ＝ tanω･ sinα ・・・・・(1)式
この式は近似的に次の式となります。
χ ≒ tanω･ α ・・・・・(1a)式
このχ、ω、αの関係を図で説明したのが下図です。
図は爪先上がりのライから遠方のグリーンを狙うショットの場合を示しています。爪先下がりの場合でも理論的には全く同じなのですが、実際には、爪先上がりではクラブを斜面に合わせてソールし、かつスイング軸も斜面に合わせて傾けて打つことが多いために、理論どおりに左に飛び出す球筋となりますが、爪先下がりでは多くのゴルファーが斜面に合わせて「トウを下げる」といった打ち方はあまりしないこともあるのか、どうも理論通り（右に打ち出してスライス気味な球筋）にはなかなかならないようです。そんなことから、図も爪先上がりの場合だけを取り上げて描いてあります。
(1a)式から、もし打ち出し角度（迎角）ωが45度だったら、tan 45°＝1 ですので、その場合には、斜面の傾斜角度αと「スタンス方向に対してボールが着地する方向の角度（＝狙い角度）」χはほとんど同じになります。25度の迎角だと、tan 25°＝0.47 ですので、狙い角度は斜面角度のほぼ半分となります。ロブショット気味に打って迎角が60度の場合には、tan 60°＝1.73 ですから、狙い角度は斜面角度の７割増しになります。（25度の迎角の時からは実に３倍以上を狙わなければならなくなります）
上記の３つの図は、迎角ωが45度を境にして増減すると、狙い角度（狙い幅）がどのように変わるのかを図解しています。
ボールが飛び出す迎角はクラブのロフトで大きく変わります。例えば、仮にボールの迎角がほぼロフト角に等しいと仮定したとしたら、上記の３つの例では、５番アイアン（ロフト角＝23～27度）が迎角25度に相当し、PW（ロフト角＝43～47度）は迎角45度の「標準」に相当し、SW（ロフト角＝56～60度）が迎角60度に相当するといったように考えることができます。
同じ47度のPWで打っても実際のボール打ち上げ角度ωは、人それぞれで相当異なりますので、自分の実迎角がどのくらいなのかは各自でコースや練習場で掴んで下さい。
３つの図は比較するために、どの場合にも斜面に対して真横の方向を目標として固定して構えて、クラブのロフトが変わるとスタンスの方向に対して左に飛ぶ量がどのくらい変化するかを表しています。当然、実際にグリーンを狙ってショットする際には、想定されるボールの迎角（ロフト）で決まる「狙い幅」の分だけピンの右を向いてスタンスを取ることになります。（図の右端の例でいけば、実際のショットではスタンスは図に描かれた方向よりも当然もっと左を向く）
実際に斜面に立って、遠方のグリーンを見通して、ピンとボールを結ぶ直線から水平方向に「斜面と同じ角度」だけ開いた（目標方向の）直線を目に浮かばせるにはどうしたらよいでしょう。
ひとつは、斜面の勾配を「1/10だな」とか「10：1だな」とか『読むことができる』人であれば、その勾配の比率をグリーンまでの距離（例えば150yd.など）に掛け算することで、「150ヤードの1/10だから、ピン横15ヤードを目標にしてスタンスすればよい」という方法が考えられますが、勾配を読んだり、遠くのグリーンの上の15ヤードがどのくらいなのかを見定められる『眼力』を持っていることが条件になりますから、誰でもができるという方法ではないでしょう。
もうひとつ考えられるのは、プラムボビング（パターやクラブを指で摘まんで吊り下げて、前方にかざして見るという行為）を利用する方法です。具体的には次のような手順になります。
１． クラブが鉛直にぶら下がるようになる指の位置を見つけ、その位置（普通はグリップ部分）を右手の指で摘まむ。
２． 右手はそのままで、左手をクラブの下部に添えて、ボールが置かれている斜面の傾斜に垂直になるようにクラブを斜めにする。（両腕を前に伸ばして、眼でクラブと斜面を見通しながら行う）
３． 斜面に対しクラブが垂直になっている状態を保ちながら、身体の位置や向きを調節して、クラブのシャフトがボールとピンの両方に重なって見えるようにする。
４． 上記３．の状態で、身体や顔を固定したまま、そっと左手をクラブから離して、クラブが鉛直にぶら下がるようにする。
５． 上記４．での身体や顔を固定した状態のまま、右手だけを右方向にそっとスライドさせ、鉛直にぶら下がったシャフトがボールに重なるところで止める。
６． 上記５.の姿勢を保った状態で、シャフトとグリーン方向の風景とを重ねて見通した時に、シャフトが示す方向がピンから「斜面と同じ角度だけ振った」方向となる。
このプラムボビング手法は、「斜面に対して垂直な方向が見える」ことさえできれば、誰でも使えそうに思えます。
以上、斜面ショットの狙いを決める方法についての基本的な考え方（の概要）を説明しましたが、各プレーヤーは、自らの経験や実験によって、自分のショットの迎角やスイングの癖（例えば、必ずフックの球筋になるなど）等々、諸々の要素を把握するようにしていかないと、なかなか自分自身に適合する『使える』エイミング技術にはなり難いかもしれません。
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２０１１年０２月０３日 （その他全般について 関連）
Q: ランニングアプローチでの狙い方はどうしたらいいですか？
ピンまでは15ｍ以上と遠く、エッジから1、2ｍのカラー部分にあるボールを寄せようとするときは、パターで打とうか、あるいはＰＷなどでランニングアプローチをするほうがよいか迷いますが、このようなケースで、パターで打つ時に狙う仮想カップ（教本の法則で算出できます）と、ＰＷで打つときに狙う仮想カップとはどのように違ってくるのでしょうか？
Ａ： パットされたボールがグリーン面を転がる挙動に較べると、ウェッジで打たれたボールがどのように跳ねて、着地して、どのような方向と速度で転がりだすかという挙動を解析することは、（パットより）はるかに複雑であるため、全ての状況に直ぐ対応できるほどに単純化された（科学的な）狙い方はまだありません。典型的な２，３の状況を例にして狙い方の基本的な考え方を説明することにします。
一般的には、球をあまり（高く）上げずにスピンを少なくして転がりの足が長いランニングアプローチをする場合には、空中を飛んでいる部分があるために、全く同じ距離のアプローチパットでの狙いに較べると、やや薄め（狙い幅を少なめ）に狙うことになります。ボールを高く上げれば上げるほど、跳ねたときの方向転換は大きくなりますが、空中が長くて、転がる距離が短くなるため、結果として狙い幅は小さくなります。ボールが落ちる場所の勾配が強いほど、（当然のことですが）跳ねたときの方向転換は大きくなります。
挙動を左右するパラメーターが、パットでは打ち出し速度（距離感）、打ち出し方向、傾斜、グリーン速度（スティンブ値）、芝目の５つだったのが、ランニングアプローチでは、打ち出し速度、打ち出し方向、打ち出し角度（上方向への迎角）、スピン量、スピンの回転方向、傾斜、グリーン面にボールが跳ねるときの反発係数（主にグリーンの固さ『コンパクション値』が影響）、入射角に対する反射角の減少率、グリーン速度、芝目、といった具合に最低でも10個ものパラメーター数になってしまいます。
まず最初に「反射（はね返り）」の基本メカニックスを理解することが必要ですので、単純な例から始めることにします。
水平に置いた鏡に斜めからの（一筋の）光線が当って反射するときと、小さなパチンコ球のような物体が斜めに落下して、水平な硬い厚鋼鈑の上で跳ね返るときの違いを示したのが下図になります。
一条の光が鏡に入射する場合、光の筋の各位置から鏡に向かって垂線（図の破線）を垂らすと、これらの垂線は一つの平面になって、ちょうど三角定規を鏡の上に垂直に立てたようになります（図の緑色の直角三角形参照：斜辺が入射光線に一致）。この直角三角形を反射点を中心にして鏡面上で180度ぐるりと反対方向に回すと、この三角形（同じく緑色の直角三角形で表示）での斜辺が反射後の光線の道筋を表します。鏡で光が反射するときはロスがないため、入射角ω＝反射角θで対称な形となります。パチンコ球が水平な盤上で跳ね返る場合は、光線が直線で入射するのとは異なり、放物線状に曲線で落ちていき、跳ね返ると再び放物線を描いて盤上に落ちていきますので、入射角ωは衝突地点での放物線の接線（赤い矢印で表示）の角度になります。接線の矢印（直線）の各位置から鉛直線を下げると、これらの鉛直線は直角三角形の平面（図のピンク三角形）になって、入射するパチンコ球の放物線の軌跡はこの平面上にあります。パチンコ球が反射して跳ね返る場合は光の場合と違って、衝突による（エネルギー）ロスが発生しますので、反射角θは必ず入射角ωよりも小さくなります。入射速度と反射速度を水平方向と垂直方向の成分に分解して説明しているのがベクトル（矢印）の図です。
パチンコ球の場合、衝突して跳ね返る前後では水平方向の速度成分は変化せず、垂直方向の速度だけが180度ひっくり返って、かつ小さくなると考えられます。反射速度の垂直方向成分が小さくなる比率は、パチンコ球を垂直に１ｍの高さから落下させたときに何cmまで跳ね返ってくるのかと同じで（正確には速度比の二乗が高さ比に比例）、この比率は反発係数hと呼ばれます。（はね返り係数とも呼ばれます）
反発係数h＝ θh／ωh ＝tan(θ)／tan(ω)
→→ θやωが45度未満であれば、 反発係数h ≒ θ／ω ・・・・ （1）式
次に、パチンコ球が斜面で跳ね返る場合を考えてみましょう。下の図では、盤は全体に勾配a＝tanαで傾いていて、パチンコ球が斜面に対して真横（3時）の方向からチップショットされ中心点０に放物線を描いて落ちていくところを表しています。盤にぶつかる瞬間の速度が「入射速度」（ベクトル）で、赤い矢印で表されています。この赤い矢印（入射速度）から盤上に鉛直線を垂らすと、必ず中心点０と３時を結ぶ直線の上に落ちます。これらの鉛直線で構成される鉛直平面がピンクの直角三角形として描かれていて、このピンクの平面の中にパチンコ球の放物線が含まれています。「入射速度」の赤い矢印の各位置から「盤面に対し垂直になる」ような線を垂らすと、これらの垂直線で構成される平面（図の緑色の直角三角形）は、入射の放物線を含む平面（ピンク三角形）を（赤い矢印を回転軸として）12時方向へ傾斜角αだけ回転させた平面となります。この緑色の平面が盤上に接する直線が9時/3時の方向（水平方向）と作る角度をχとします。ピンク三角形上での「見かけの入射角」がωで、斜面に垂直な緑色の平面上での入射角ω’が「真の入射角」になります。
盤面に垂直に立った緑色の三角形に沿って反射が行われますので、反射した瞬間の反射速度（ベクトル）は鏡対称の位置にある緑色の三角形（斜面に垂直）の斜辺（赤い矢印）となります。反発係数hに従って、反射速度は（入射速度よりは）小さくなるため、緑色の直角三角形上の「真の反射角」θは（「真の入射角」ω’より）小さくなりますが、緑色三角形が9時/3時を結ぶ線と作る角度χは（反発係数hやθの大小には影響を受けることなく）全く変わりません。
赤い矢印方向（盤上の投影は角度χ方向）に飛び出したパチンコ球はすぐに重力の影響を受け、小さな放物線を描くことになりますが、重力の作用方向は鉛直方向ですので、パチンコ球は、緑色の垂直平面ではなく、ピンク色の鉛直平面に沿って放物線を描いて飛ぶことになります。入射側での緑色の垂直平面とピンクの鉛直平面の関係は反射側でも同様で、緑色の平面を赤い矢印を回転軸として傾斜角αだけ6時方向に振ったのがピンクの平面（鉛直方向）となります。バウンドが大きくとも小さくとも、放物線はこのピンク平面の中を動きますので、パチンコ球は必ず盤面の中心０からD点を結ぶ線上に着地します。
結局、文字盤の3時から中心点に向かって打ったアプローチショット（に見立てたパチンコ球）は、中心点０でバウンドして、D方向に進路を振って着地することになります。従って、3時方向から見て、１回のバウンド当りに考慮しなければならない、最大傾斜線方向（カップの位置）の「狙い幅」は図のｂとｄを足した長さです。ｂは、斜面でパチンコ球が反射する方向そのものによる「偏移の幅」分で、ｄは、飛び上がったパチンコ球が重力によって『捻られる』ことで生じる「偏移の幅」増加分です。
図が込み入っていて分りづらいですが、ゆっくりと各辺と角度との関係を学校で学んだ幾何の知識で整理していくと、次のような関係式が得られます。
tan χ ＝ tan ω ･ sin α ・・・・・（2）式
実際のグリーンで遭遇する傾斜角αや（一回のバウンドの）進路変更角度χは通常、最大でも20度、30度を越すことはありませんので、その範囲のαとχに対しては、tan Z ≒ sin Z ≒ cZ とみなすことができ、この(2)式は、近似的に次の(3)式となります。
χ ≒ tan ω ･ α 又は tan χ≒ a ･ tan ω ・・・（3）式
見かけの入射角ω（ピンクの三角形）と真の入射角ω’（緑の三角形）の関係は、
sin ω’＝ cos α ･ sin ω となりますが、傾斜角αは通常10度未満である（cos αの値は0.9以上となる）ことと、ωは45度以下がほとんどであることを考慮すれば、実用上は次式となります。
ω’≒ cos α ･ ω ・・・・・（4）式
ω’≒ ω ・・・・・（4a）式
１回のバウンドに対応する、ピン横（最大傾斜線方向）の「狙い幅」は図のｂとｄの合計となりますが、それぞれは次の関係が成り立っています。
b ＝ R ･ tan χ ・・・・・（5）式
d ＝ R ･ tan θ’･ tan α ／ cos χ
従って
d／b ＝ tan θ’･ tan α ／ sin χ ・・・・・（6）式
ここで、αやχが十分小さい角度であると(6)式の右辺は、tanθ’･ α／χ となるため、（3)式と(4a)式、及び反発係数(h ＝ θ'／ω'）を代入すると、次の近似式を得ます。
d／b ＝ tan θ'／ tan ω ≒ θ'／ω’＝ h ・・・（7）式
従って、１回のバウンド当りに見なければならない「狙い幅（＝偏移の幅）」は次のようになります。
１回当りの狙い幅 ＝（b＋d）＝ ( 1 ＋ h ）R･a･tan ω ・・・（8）式
この(8)式が意味していることを理解するために、少し具体的な数値を入れて計算してみましょう。
標準的に曲がるグリーンを想定して、スティンプ値は8.5フィート、傾斜はグリーン全体均一にa＝1/50の勾配がついているものとします。入射角ωは（ウエッジでボールを）打ち出す角度とほとんど同じですから、ランニングアプローチですと、45度以上ということはあまりなく、30～40度程度だとすると、tan ωは大体 0.5～0.85の範囲の値となります。ランニングアプローチでも高く上げる人の場合には、仮に迎角が45度で上がるとするとtanωは1.0となります。反発係数は、普通のグリーンの硬さであれば大きめに見てもせいぜいh＝0.2ではないかと思います。
■■ ※注： ゴルフボールを１ｍの高さから落として、半分の50cm跳ね上がったとすれば、反発係数hは跳ね返り高さの比率の平方根ですので、約0.7になります。逆に、h＝0.2だとすると、１ｍから落としたボールは4cm跳ね上がり、２バウンド目には1.6mmしか跳ねない計算になります。普通のゴルフ場のグリーンに1ｍの高さからボールを落としたことはありませんか？ やってみると分かりますが、見た目では、3cm程度しか跳ね上がりません。１度だけ跳ねて、２度目にグリーンに落ちたところで止まってしまうように見えます。音は感覚的に「トーン、トッ」と、跳ねた音が一回と着地した音が一回聞こえるだけです。これに対して、家庭の洋間で絨毯を敷いた床の上では10cmほど跳ね上がり（複数回バウンドしますので）、h＝0.33程度ということになりますし、厳冬期に凍ってカチカチになったグリーンでは30cm跳ね上がるとすれば、反発係数hは実に普通のグリーンの２倍以上の0.55にもなることが分ります。スティンプメーター値を表示しているゴルフ場ですらあまり多くありませんから、ましてやコンパクションメーター値を表示するゴルフ場はほとんどなく、一般のゴルファーの意識にコンパクション値があがってくることは全くありませんので、コンパクションの数値とボールの跳ね上がり高さ（つまり、反発係数値）の間にはどのような換算式が存在するかは今まで誰も明らかにされていません。
しかし、スティンプメーターと違い、跳ね上がり量を測るには別に何も特別な道具は一切要らず、練習グリーンに1ｍからボールを落とした時の第一バウンドの高さを目分量で計測しさえすれば、（平方根を計算することで）直接、反発係数hを得ることができます。
ちなみに、一般ゴルフ場のグリーンのコンパクション値は8～9.5程度とされ、日本の男子プロのトーナメント仕様では10～12程度を目標にするようで、米国PGAのメジャートーナメントでタフな設定にする際には13を超えて16ほどにもなる、．．．と、ある資料には書いてありましたので、数値的にはちょうどスティンプメーター値とほとんど同じと記憶しておけばよさそうです。 ■■
(8)式にこれら上記の各値を代入すると、迎角45度の場合で、(1 + 0.2) * 1.0 * 1/50 * R ＝（1.2/50) * R ですので、例えば、ボールが最初にバウンドする地点からカップまでの距離が15ｍだとすると、15ｍに斜面の勾配である1/50（＝100分の1の2倍）を掛ける暗算をして30cmを求めた後に1/5の6cmを足して得られる36cmが、１回目のバウンドが「横っ飛びする」ことで生じる「狙い幅」であることが分ります。
２回目のバウンドについても(8)式は成り立ちますが、１回目のバウンドと変わるのはtan ωの値です。１回目のバウンドの時の反射角θ(＝hω）が２回目のバウンドの入射角となりますので、反発係数hが掛っている分だけ tan hω は小さい値になります。上記の例ですと、最初のバウンドでのωが45度だったのが、2回目には45度x0.2＝9度ですので、tan 9°＝0.158 となり、ほぼ6分の1になります。グリーンにボールを１ｍの高さから落とした実験から分るように実際には3回目のバウンドはほとんどありませんが、もしたとえ（凍ったグリーンの場合などで）あったとしても、入射角は更に0.2が掛って1.8度となるので、tan 1.8°＝0.03 となり、十分誤差範囲ともいえる小さな値となってしまいます。従って、アプローチショットでの「跳ねることによる」トータルの「狙い幅」は２回のバウンド相当の「偏移量」を合計すれば十分だと判断できますから、
1.2*（1.0 ＋ 0.158)*1/50*R ＝ 1.2*1.16*1/50*R ＝ 1.39*1/50*R ＝ 0.028*R
となり、バウンド地点からカップまでが15ｍであれば、42cmが「狙い幅」と算出されます。（１回目のバウンドで36cm、2回目のバウンドで6cmという内訳）
カップから15ｍの地点にバウンドするアプローチショットは、最初にバウンドした地点から1ｍもカップ方向に進めば「ほぼ転がり」始めるため、その場所（カップから約14ｍ）からパターでボールを水平に打ち出したのと全く同じと考えることができますから、1/50の斜面で14ｍの距離のパットの狙い幅は、1/10簡易法で計算されて、140cmと算出されます。従って、さきほど計算された「跳ねることによる狙い幅」の42cmと合算されて、最終的にランニングアプローチ（18～20ｍほどの距離）で狙うべきターゲットは、カップの最大傾斜線上を1.8ｍだけ上った位置だと結論されます。
(8)式は、「パチンコ球」でアプローチショットをした場合の式です。つまり、スピンを一切無視していますので、特にサンドウェッジなどでアプローチ（ピッチショットやロブ気味のショット）する（スピンが無視できない）場合の実際のボールの動きに対してこの式をあてはめようとするときには注意が必要です。
サイドスピンの影響まで考えようとすると、あまりに複雑になりますから、進行方向にだけバックスピンが掛かっていると仮定します。バックスピンが加わると、何が変わるかというと、『見かけの』反発係数が大きくなるのです。つまり、バックスピンを無視したパチンコ球のようなケースでは入射角ωに対して反射角θは反発係数の率で小さくなったのですが、バックスピンがあるとボールを戻そうとする力が加わることで大きな迎角で跳ね返るため、バックスピンが無い時に較べると反射角θがぐっと大きくなって、（入射角と反射角の比率で見る限り）あたかも反発係数が大きくなったかのようになります。『真の』反発係数が大きくなったわけではないので、反射角は大きくなってもバウンドの到達高さは高くならないため、『見かけの』反発係数と呼ぶのです。
結論から言うと、(8)式については、大きくなった『見かけの』反発係数の値に置き換えることで、何ら支障なくバックスピンが有る場合に対応させることができます。このことは、図の中で、バウンドしたボールが着地する「方角」Dは、反射角θ＝hωの大きさにだけ左右され、バウンドが大きく（高い）とも小さくとも（低い）全く関係なく、必ずボールはODの線上に落下するという性質があるからです。従って、パチンコ球を前提に導かれた(8)式は、反発係数hの値を調整することで、実際のアプローチショットにも何ら不都合なく当てはまることが理解できます。
1回目と2回目のバウンドによる合計の「狙い幅」を計算する式は次のようになります。
（合計の狙い幅）＝ ( 1 ＋ h ）R･a･tan ω ＋ ( 1 ＋ h ）R･a･tan hω
この式で、2回目の入射角(hω)は45度以下であることを考えると、近似的に tan hω ≒ h･tan ω とすることができるので、次の(9)式を得ます。
(9)式は非常に覚えやすい形に整理されました。つまり、(9)式を文章で書けば、
『跳ねることに対する「狙い幅」は、斜面の勾配に、「１足す反発係数」の二乗とショット迎角の正接を掛ければよい』という単純な結果となっています。
この(9)式を各プレーヤーが自分のものとして活用するためには、各自が自分のアプロートショットでの迎角ωと、（バックスピンによる影響も含めた）『見かけ』の反発係数hを決めなければなりません。その上で、更に重要になるのは、自分のランニングアプローチ、ピッチ＆ラン、ロブ的アプローチのそれぞれのアプローチショットの種類毎に、空中距離と転がる距離の比率をはっきり把握する必要があることです。必ずしも比率である必要はなく、要は、ピンに寄る強さで打たれたボールはカップから何ｍの距離の位置にバウンドするのかの正しいイメージが頭の中で思い描けるくらいに自分のショットが正確に打て、かつ高い再現性がなければならないのです。
具体的な例を挙げれば、あるプレーヤーのアプローチは次のように書き表せたとします。（ただし、標準的なグリーンと仮定）
●20ｍのランニングアプローチ：
空対地比率は1：4なので、4ｍ空中を飛び、約1ｍの長さ弾み、15ｍ転がる。
迎角ωは30度以下なので、tanω＝0.5とする。
この時バックスピンは非常に少ないので、h＝0.2
●20ｍのピッチ＆ラン：
空対地比率は1：2なので、6.5ｍ空中を飛び、約1ｍの長さ弾み、12.5ｍ転がる。
迎角ωは40度弱なので、tanω＝0.8とする。
この時バックスピンは少し効くため、h＝0.4
●20ｍのロブ的アプローチ（半ロブショット）：
空対地比率は4：1なので、16ｍ空中を飛び、約0.5ｍの長さ弾み、3.5ｍ転がる。
迎角ωは50度なので、tanω＝1.2とする。
この時バックスピンは多いので、h＝0.8
このプレーヤーが傾斜1/50の標準的に曲がるグリーン（スティンプ値8.5フィートとする）で、距離20ｍの上記三種類のアプローチショットをする場合に、それぞれのカップ位置での狙い幅（転がり部分の焦点距離と跳ねる部分の偏移距離の合計）を(9)式と教本の1/10簡易法を使って計算してみると、次のようになります。
● 20ｍランニングAprch： 1.5 + 1.2*1.2*0.5*16*0.02 ＝ 1.73 メートル
● 20ｍピッチ&ラン： 1.25 + 1.4*1.4*0.8*16*0.02 ＝ 1.75 メートル
● 20ｍロブ的Aprch： 0.35 + 1.8*1.8*1.2*16*0.02 ＝ 1.59 メートル
実際には、スピンがかなり掛かっているロブショット風のアプローチを行う場合には、必ずサイドスピンも加わるため、現実のボールの挙動は理論式とは全く違ったものになってしまい、理論式で狙い幅を計算することはできません。しかし、ロブショットはもともと、ランがほとんど無く、ほぼピン・デッドの距離感で打つことで、多少バウンドが「横っ飛び」しようがワンパット圏内に止まることを狙っていますので、理論式で狙い幅を導けなくとも問題はないでしょう。上記の例で挙げた「ロブ的アプローチ」についても、サイドスピンの影響が無視できないほど大きくなる可能性が高いので、計算で得られる理論値はあくまでも目安程度と考えるほうがいいと思われます。
ランニングやピッチ＆ランだとしても、アマチュアのアプローチショットにおいては、ピンまでの距離感も相当にバラつきますし、特にバウンド予定地点と実際にボールが落ちる地点との食い違いは甚だしいのが普通ですから、狙い幅の計算をあまり精緻に突き詰めてもあまり意味のある結果には結びつきません。
逆に言えば、アプローチでの「狙い幅」を計算するのを意味のある行為にするためには、精度よく（ピンまでの）距離感で打つことができる技術と、空対地比率がいつも一定で再現性のあるショットを打てる技術とが一定のレベルにまで達していることが前提条件とならざるをえません。
「狙い幅」という表現を使ってきましたので、これまでの話は、斜面の真横方向である時計文字盤の３時の位置からピンを狙うアプローチに限定して解析してきたように感じられることかと思いますが、アプローチショットの狙い目標（仮想カップ）についても、パットの時の花模様の焦点距離の関係と全く同じように、どの方向からのアプローチショットであろうとも、狙う目標は（最大傾斜線上にある）同一の一つの「焦点」に収束されます。
また、斜面についても、これまでの話はグリーン全体が均一に一つの方向に同じ勾配で傾いている場合で説明してきましたが、(8)式や(9)式は、バウンドする地点でのピンポイントでの勾配にのみ関係し、それ以外の場所の斜面がどのようになっていようが、何らの制約なく、これらの式は成り立っています。従って、「跳ねる」ことによる狙い目標を算出するのには、グリーンが均一な勾配である必要は一切ありません。(8)式や(9)式は、スティンプ値が大きくとも小さくとも無関係に、斜面の勾配とショットの迎角と反発係数（グリーンの硬さ）の三つの値だけで決まってしまいます。ボールが着地した後の「転がる」部分における曲がり度合いを計算するのは、教本で解説しているパットの焦点距離の求め方そのものを使うことができます。ボールがグリーン上を「転がる（パット状）」部分の斜面が複雑に変化するマルチスネークラインであろうと、教本の手法で一つの焦点（及び焦点距離）を決めることができます。（9)式から計算されるバウンドによる「狙い」はマルチスネークラインであっても一切関係なく、バウンドする部分の傾斜勾配だけで決まり、しかもその「狙い目標」の方向はバウンドする地点の斜面の『最大傾斜線』の方向に(9)式の長さ動いた位置となります。この二つの「狙い目標」（転がる部分の焦点と跳ねる部分の狙い目標の二つ）はともに大きさと方向をもったベクトル量ですから、この二つのベクトル量をベクトル的に足し合わせた合成ベクトルが、アプローチショットで狙うべき「狙い目標」を表すこととなります。（下図を参照）
以上がアプローチショットにおける狙い目標を理論的に決定する方法の概要です。
前述の三種類のアプローチショットの狙いを具体的に算出してみた例にあるように、ランニングアプローチでの狙いとピッチ＆ランでの狙いを較べると、前提条件（パラメーターの値）が違っていて、途中の計算も異なっているにも拘わらず、最終的な狙い目標は非常に近い数値になっています。ランニングアプローチでは、長い転がり部分で大きく曲がる代わりに、跳ねることでの方向転換が少なくなり、ピッチ＆ランでは、転がり部分が短くなって曲がりが少なくなる代わりに、跳ねることでの方向転換が大きくなるという補完関係があるため、この二種類のアプローチショットの狙いは結果としてほぼ同じような値となるのです。しかし、注意しなければならないのは、上の図で分るように、「転がる」部分の狙いと「跳ねる」部分の狙いを足し合わせるのは、単純な算術計算ではなく、ベクトルの合成による「足し算」であることです。つまり、バウンドする地点の傾斜と転がる部分の傾斜とが同じであれば、算術足し算の結果とベクトル合成の結果とは一致しますが、もしこの二つの斜面が異なっていた（勾配の強さ、あるいは傾斜方向が異なる）場合には、算術合計とベクトル合成とはかなり食い違った結果となってしまいます。
おおもとのQ&Aの質問に戻り、ピンから15ｍの距離のカラー部分にボールがあって、グリーンエッジまで1ｍ程度の場合に、パターで打つときとランニングアプローチをするときそれぞれの狙い目標を計算してみましょう。今までの例と同様、グリーンの速さは標準的な8.5フィート、グリーンの傾斜も標準的な曲がり方となる1/50とします。
パターを使用してカラーの部分から「転がし」で寄せる場合には、お馴染みの1/10簡便法によって、カップから最大傾斜線の上り方向に1.5ｍ離れた地点が狙うべき「焦点」となります。
それに対し、ランニングアプローチ（空対地比率1：4、迎角をtanω＝0.5、反発係数h＝0.2）では、1.27ｍとなります（＝ 1.1 + 1.2*1.2*0.5*0.02*12 ）。
従って、この二つの値を比べてみると、ランニングアプローチでの狙いのほうがパターで打つ場合に比べ、約1/6ほど薄め（内側）に狙うようになることが分かります。
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２０１１年０１月０５日 （その他全般について）
Ｑ： パットが入る「確率」についてもっと説明して下さい。
パットのラインに強めと弱めの複数のラインが存在するのかどうか、最適なラインは１本しかないのか、ジャストタッチが良いのか或いは強気で必ずカップをオーバーするように打つのが正しいのか、等々の問題については、最終的には「パットが成功する（カップインないしは３パット回避）確率が一番大きくなるようにするにはどのようなライン（狙い方）にするのが良いのか」という発想を問題の原点にすべきだと思うのですが、パットの確率については教本でもほとんど考察されていません。できれば確率についてもっと説明して下さい。また、その結果をパッティングにどのように活かすべきでしょうか？
Ａ： 教本が「最適ラインは1本」「基本的にはジャストタッチ＋(プラス)」の立場を取っているのは、ご指摘のように、そうすることにより（アベレージゴルファーにとって）パット成功の確率が最大になるはずだとの考えに基づく結論です。
パットの確率を考察し理解することにより、自分のパッティングにおいて何の技術の精度を高めることが最もパッティングを向上させるのかが明確に見えてきます。特に、ボールが大きく曲がる高速グリーンや強い傾斜のパットにおいては、距離感の精度を研ぎ澄ますことが絶対条件であることが自覚できます。
パットの確率については、全てを網羅するには余りに話が広範囲かつ複雑になるので、一番基本となる「一打でカップインする確率」について主に説明してみましょう。
以下の話は、確率・統計学のごく初歩的な知識をお持ちでないと分りづらいかと思いますが、この程度の統計の知識は高校の数学で習われた方も多いでしょうし、仕事の上でのQCなど品質管理活動、あるいは市場調査活動などの中で否応なく覚えられた方も多いかと思いますので、「そういえば、こんなことを習ったっけな」と思い当たる方は、是非思い出して下さい。
「統計だの確率分布だのって一体何のこと？」という方々にあっては、次のような基本知識を覚えていただければ、以降の「パッティング確率」の話を理解していただくには十分だろうと思います。
（基本知識）
例えば、３ｍの転がり距離になるように心掛けて、パットを1000回打ったとします。実際に転がった距離と回数とをグラフに描いてみると、一般的には平均距離3ｍの近くに回数が集中していて、3ｍをショートして2ｍ以下やオーバーして4ｍ以上になる回数は急激に減る分布になることが想像できると思います。更に、そうは言っても、ごく稀にとんでもないショートやオーバーをしてしまうことが決してなくならないことも考え合わせると、グラフは、上に凸の曲線で左右になだらかに裾野が広がった、ちょうど教会の鐘のような形（ベルシェープと呼ばれる）になりそうなことが分ります。パットの回数がどんどん増えていくと、この、距離を横軸にして、その距離になったパット回数を縦軸にとったグラフの形（回数の分布状況）は「正規分布」と呼ばれる確率分布を表す曲線になることが知られています。
正規分布の形になっている場合でも、上手い人は3ｍのごく近くに回数が集中していて非常に急峻なマッターホーンのようなベルシェープになっているのに対して、下手な人は3ｍを相当外れた距離にまで回数が広がっていて、なだらかな丘陵のようなベルシェープになってしまいます。
このような分布の仕方が平均値近くに集中しているのかバラけてしまっているのかを表す指標に『標準偏差σ（シグマ）』という数値が使われます。標準偏差が大きいと分布が広がっていてベルシェープは横広のなだらかなものになることを意味します。逆に標準偏差が小さい値だと、ベルシェープはどんどん細く急峻になっていき、鉛筆を立てたような形になっていきます。
正規分布の標準偏差には特別な性質があります。距離3ｍのパットの例で、もし標準偏差が0.5ｍだとすると、平均値（3ｍ）の前後に標準偏差（0.5ｍ）だけ外れた範囲（2.5～3.5ｍ）にボールが止まる確率は68％（1000回のうち680回）になりますし、標準偏差の2倍（1ｍ）外れた範囲（2～4ｍ）に入る確率は95％（1000回のうち950回）となり、更に標準偏差の3倍（1.5ｍ）にまで範囲が広がったならば（1.5ｍ～4.5ｍ）、確率は99％、つまり実質的には打ったパットは必ず「平均値±標準偏差の3倍」の中に入るという性質があるのです。ちなみに標準偏差σの4倍以上に外してしまうという確率は1万回に1回以下となりますので、平均値から4倍σ以上に外れることは「この世の中に常識的にはあり得ないこと」という意味合いになります。
このような標準偏差の性質から、一つの現象を表すときには、平均値と３σ（さんシグマ）の二つの値で示すことが多く行われます。（例えば、「平均距離が3ｍで、３σは1.5ｍ」と表現される）
以上の説明では、距離方向のバラつきの分布を例として正規分布を説明しましたが、パットの横方向の狙い幅についても（例：カップ右横に２カップ半の位置を狙う）、全く同じことが当てはまり、ボールが打ち出された方向が狙い目標（２カップ半の位置）から左右にどのくらいずれるのかというばらつき具合も正規分布とみなすことができます。
基礎知識を確認したところで本題に戻ります。
先ず最初は、芝目も傾斜もない水平なグリーンで真っ直ぐなパットをカップインさせる確率を考えます。幅方向の狙いは当然、カップのど真ん中を目標にして打つはずです。カップの半径は54mmですから、そのやや内側に入ったところにボールが行けば縁を舐めながらでも辛うじてカップインするでしょうから、仮にカップ中心から左右に±47mmの範囲内をボール（中心）が通過するような打ち出し方向でパットできれば、カップインするとみなすこととします。一方、打つ強さ（距離）については、カップより短ければカップインしないのは明らかですが、強すぎればカップを飛び出してしまいカップインできませんので、この「強くてカップを飛び越してしまう限度」を「カップを1.2ｍオーバーする強さ」と仮定することにします。更に、ショートパットでもロングパットでも同じで、いつでも距離の狙いはカップを30cmオーバーする強さで狙うものとします。つまり、狙った距離よりも40cm（30cm＋カップの直径10cm）以上ショートしたパットと90cm以上オーバーしたパットはカップインできないと判定することになります（カップインする限界とした120cmのオーバー分から、狙っている30cmのオーバー分を差し引くと、狙い目標距離から90cm以上オーバーのパットはカップインできないと判定）。
以上のことから、真っ直ぐなラインのパットがカップインする条件をまとめると、「カップの位置で左右の広がりが±47mmに収まっていて、かつ、強さが狙った距離に対して－0.4ｍ～＋0.9ｍの範囲に入っていること」となります。
アベレージレベルからやや上級レベル（「中の上」レベル？）のアマチュアゴルファーを想定した場合、真っ直ぐなラインの30cm、60cm、90cmの三つの距離のパットにおいて、ミスをする確率はどのくらいあると直感的に感じますか？ 距離感（打つ強さ）のミスと方向性のミスを別々に考えて、先ず距離のミスについては、60cmまではカップインできないようなミス（ショートやオーバー）はほとんどないだろうと感じると思います。90cmの距離になると、ひょっとすると50回に1回くらいはびびってショートだとか強すぎてカップを飛びだすことがないとも言い切れないような気もします。方向性のミスについてはどうでしょうか。芝目や傾斜がないのですから、30cmの距離でカップを外してしまうミスはほとんど（99％）あり得ないと一般的には感じるでしょう。ただ、60cmとなると、アマチュアは中の上クラスでも10回に1回ぐらいはついうっかりカップを外すミスがでても不思議はないような気もします（つまり方向性の確率90％）。90cmの距離だと、方向性でミスなくカップの内側に打てる確率はがくっと下がって、80％は切ってしまう、しかし、60％は割らない気がするので、60～80％の間のように感じます。そこで、距離60cmのパットで、方向性（カップの真横方向の中心軸をボールが通過する位置）が±47mmの範囲（つまりカップイン）に収まる確率が約90％になるような正規分布の標準偏差σを計算してみると（Excelなどの表計算ソフトの関数を使用）、σ＝29mmになることが分ります。60cmの距離で横に29mm開くのが1σに相当する角度ですから、三角形の相似の関係がありますので、30cmの距離では標準偏差は半分のσ＝14.5mmになり、90cmの距離だと5割増しのσ＝43.5mmになることが分ります。
半分になったσと、1.5倍になったσで、±47mmの範囲に入る（カップイン条件）確率を計算すると、それぞれ、30cmのパットについてはカップイン確率が99.9％で、90cmのパットについてはカップイン確率が72％になります。この計算結果はほぼ直感に沿った結果が得られているので、数値モデルとして使えそうです。
次に、距離方向の分布の仕方については、直感的にどのような想定ができるでしょうか？ 私は次のように考えました。1ｍ以下のショートパットでも10ｍを越えるロングパットでも、半分の距離までも届かずにショートしてしまうことは99％ないだろう、逆にオーバーするときでも倍以上の距離を打ってしまうことは99％ないだろう（あくまでも傾斜のないグリーンの想定なので、下りの速いパットは考慮していません。実際の転がり距離というより、平地換算の距離と考えて下さい）、つまり、例えば4ｍの距離を打ちたいと思っている場合には、4ｍよりショートするパットについては3σが2ｍとなり（σ(-)＝0.667ｍ）、4ｍをオーバーするパットについては3σが4ｍと（σ(+)＝1.333ｍ）なるような、ショート側とオーバー側で非対称の正規分布を仮定してみました。
この仮定に基づいて、距離（のみ）についてのカップイン確率を計算するときの具体例は次のようになります。ボールからカップまでの距離が4ｍのパットの場合には、4ｍが分布の中心になるのではなく、前述の「距離の狙いの考え方」に従い、カップより30cmだけオーバーした位置が「距離の狙い（分布の平均距離）」となります。従って4.3ｍの狙いで打たれたパットが3.9ｍ～5.2ｍの範囲に分布する確率を求めることになります。（分布の中心である4.3ｍからの距離に置き換えれば、－0.4ｍ～＋0.9ｍの範囲に分布する確率を求めることになります） この考えに基づく数値モデルで、60cm、90cm、2ｍの三つの距離のパットでの距離方向のカップイン確率を計算してみると、それぞれ、99％、97％、75％となります。
真っ直ぐなラインのパットにおけるカップイン確率は、方向性のカップイン確率と、距離のカップイン確率の二つの確率の掛け算で計算されます。上記の数値モデルで計算されるカップイン確率は次の表のようになります。
第１表：アベレージゴルファのパット確率（真っ直ぐなライン）
パット距離 方向性確率 距離確率 総合確率
0.3 ｍ 99.9 ％ 99.9 ％ 99.8 ％
0.6 90.0 99.7 89.7
0.9 72.5 97.3 70.5
1.2 58.7 92.3 54.2
1.5 48.8 86.0 42.0
2.0 37.7 75.2 28.4
2.5 30.6 65.8 20.1
3.0 25.7 58.0 14.9
4.0 19.4 46.4 9.0
5.0 15.6 38.5 6.0
6.0 13.0 32.7 4.3
8.0 9.8 25.2 2.5
10.0 7.8 20.4 1.6
15.0 5.2 13.8 0.72
20.0 3.9 10.4 0.4
この第１表を一瞥した印象は、恐らく「アベレージゴルファーであればもう少しカップイン確率は良いのかなあとも思えるけど、よくよく考えてみると案外こんなもんじゃないかな」といったところではないでしょうか。90cmのパットの確率が7割、1.2ｍだと5割になるというあたりは、大方合っているのではないかという気がします。ただ、その割に4ｍ以上のロングパットのカップイン確率が気分的にはもう少し良くてもいいようにも感じます。（4ｍは11回に1回しか入らず、8ｍは40回に1回。15ｍともなると何と140回に1回なので、15ｍをワンパットで決めることはほとんど起こり得ない現象ということになってしまいます）
第１表は、方向性の確率だけならば、15ｍのパットは20回に1回程度（5.2％）はカップ内に打てることを表しています。確率5.2％という値はアベレージゴルファーの方向性の精度（バラつき）としては（実感と比べて）十分納得できる数字ではないかと思われますから、15ｍのパットの総合確率が0.72％と著しく低く計算されている主要因は、距離感の確率が13.8％と低くなっているためだと分ります。
従って、もし、より実感に近い数値モデルにするのであれば、４ｍを超えるパットについて、仮定している標準偏差の値を小さく（例えば、ショートするマイナス側の３σを狙い距離の半分ではなく、1/3に減らし、オーバーするプラス側の３σも狙い距離の倍ではなく、1.5倍に減らすなど）したほうがいいのかもしれませんが、反面、アベレージゴルファーでは基本的に4ｍ以上のパットはワンパットでは到底決めらないというのも『実感』ですので、とりあえずはこのままの数値モデルで話を進めることにします。
アベレージゴルファーがパットの方向性と距離感の精度をどのくらい磨いたら、パットの確率がどの程度向上するのかを検証する目的で、比較のために、同じようなワンパット確率の表をトーナメントプロレベルで計算し直してみたのが、次表です。
10ｍを越えるロングパットがワンパットで入る確率は、なんと約10倍も向上することが分ります。
第２表：プロレベルのパット確率（真っ直ぐなライン）
パット距離 方向性確率 距離確率 総合確率
0.3 ｍ 100 ％ 100 ％ 100 ％
0.6 100 100 100
0.9 99.2 100 99.2
1.2 95.5 100.0 95.5
1.5 89.0 99.9 88.9
2.0 77.0 99.7 76.8
2.5 66.3 98.9 65.6
3.0 57.6 97.3 56.0
4.0 45.1 93.0 41.9
5.0 36.9 88.1 32.5
6.0 31.1 83.0 25.8
8.0 23.6 73.1 17.3
10.0 19.0 64.3 12.2
15.0 12.7 47.9 6.1
20.0 9.6 37.6 3.6
この第２表を算出するために設定した、上級プロのパットの技量レベル（方向性、距離打ち分け）は、アベレージゴルファーとの対比を鮮明にする目的もあり、次のようにやや過激とも思える数値に仮定しました。
１． 方向性については、1.2ｍのパットは95％カップインする。（アベレージゴルファーの約２倍の精度であり、確率95％というのは、正規分布の性質から、距離1.2ｍの時の方向性の2σがカップ半径47mmに等しいということになりますから、1.2ｍの時の標準偏差σ＝23.5mm）
２． 距離の打ち分け精度については、狙った距離に対して99％の確率（３σ）で、ショート、オーバーいずれも距離の1/5以内に入る。（アベレージレベルからは実に３倍以上の精度と言えます。例えば10ｍを狙ったパットが8ｍ～12ｍの間に入らないことは100回打っても１回あるかないかという想定になります）
カップインとみなす判定条件は、アベレージの場合同様、「方向性では±47mm以内に入ること」と、距離については、カップを30cmオーバーする位置を狙うことから、「狙い距離の－40cm～90cmの範囲に止まること」としました。こうした仮定と条件の下にそれぞれのパット距離についてのカップイン確率を計算したのが上表です。
プロレベルを仮定して計算した上記の確率は、いわば『人間の限界』の確率と解釈してもよいかと思います。特に距離が4ｍ以内のパットでは、「距離の確率」単独では90％を越えているうえ、「方向性の精度」にしても生身の人間にこれ以上を望むことは難しいと思われますから、4ｍの距離のパットが決まる確率（総合確率）が40％強というのは、まずもって『人間の限界』だろうといえます。
ただ、5ｍを越える辺りから、それまでは90％以上と非常に高かった「距離の確率」が急激に低下していき、ロングパットでは、例えば、20ｍでは37.6％、つまり3回に1回しか「カップに寄せる」（カップに対して±0～120cmオーバーまでの範囲に寄せる）打ち方ができないという計算結果になっていますが、テレビのトーナメント中継で見るトッププロの20ｍのパットの距離感はもっと凄い（例えば、寄せられないパットミスはせいぜい３回に１回以下のように感じます）のではないかと思われます。つまり、第２表のロングパットの確率については、まだ『人間の限界』ではないだろうということになります。
以上のことから、アベレージレベルから『人間の限界』までに技術を伸ばす「伸び代」を比べると、方向性の精度向上の伸び代よりも距離打ち分け精度向上の伸び代のほうがはるかに大きいことが分ります。アマのパットとプロのパットとの間を隔てている最大の要因は、狙った距離に対していかに正確な距離感で打つことができるかどうかの技術力なのです。別の言い方をすれば、パットをプロのレベルに向上させようとするときに一番必要なのは、どうやったら正確かつ精緻な距離の打ち分けが身に付くための練習や訓練だということになります。
丁半博打は確率50％ですから、仮に『バクチを打つ』というのが確率50％以下に挑むことだ定義するのであれば、アベレージレベルでは、1.5ｍのパットはもう「バクチ」になってしまいますし、どんなに精進して人間の限界にまでパッティングが上達しても、所詮３ｍを越える距離をカップインを狙って強気に打つ行為は「負ける」公算のほうが大きい「賭け」でしかないことが上記２つの表から分ります。
２つの表は、傾斜もなく真っ直ぐに転がることが分っているグリーンで、カップのど真ん中を狙ってパットを打つ場合のカップイン確率を表しているのですが、何らかの理由（例えば、絶対にややスライスするラインだと信じ込んでいた場合、あるいは、視差があって実際には身体が目標に向いていない場合など）で、本来はカップど真ん中が正しい狙いであるのに対して、誤って１カップ左（カップ中心から１カップなので、カップ縁からは「半カップ左」）を狙ってパットを打ってしまう場合のカップイン確率はどうなるでしょうか？ 「１カップも狙いを外したらカップインする訳ないだろう！」とつい思ってしまいますよね。ところが、特にアベレージレベルであれば、一生懸命に一点を狙って打ってもボールは半カップ以上左右にばらけてしまい「思わぬ方向に」行ってしまうことはありがちです。つまり、間違って半カップも縁から外の目標目掛けて打っているのにも拘わらず、「間違って」カップインしてしまう確率というのは結構ばかにならないのです。
前述の数値モデル（一種のシミュレーター）を使うとこれらの確率も計算できます。例えば、アベレージゴルファーの2ｍのパットでは、カップ中心を狙うと37.7％の確率で入りますが（上表での「方向性の確率」を参照）、１カップ分外れたところを狙って打った場合には、24.1％の確率でカップに入ると計算されます。つまり、１カップ分狙いを間違えると当然、カップインする確率は約1/3減ってしまうことが分ります。ただ、「狙いを1カップも間違えて打ったら、完全なミスパットになる」と信じていた人にとっては、「カップインの確率が1/3しか減らない」ことはむしろ意外に感じるのではないでしょうか。
しかし、よく考えてみれば別に意外なことではなくて、例えば、20ｍものロングパットで、ボールが左右に50cm以上は必ずバラついてしまうにも拘わらず「キャディーさん、正確に狙うんだとしたら、右に2カップ半かね3カップ弱かね？ どっちがいいと思う？」などと数cmの狙いの差に真剣に悩んでいるのを見れば、ほとんどの人が狙いにそんな精度を求めても意味のないことだと感じるはずで、そのことと「確率が1/3しか減らない」こととは同じ理屈なのです。「肝心の打球のバラつきが大きければ、読み方（狙いの定め方）を精緻にしても、あまり意味がない」という常識どおりともいえます。
そこで、カップ中心から外れた位置を狙っているのにカップインしてしまう確率が（カップ中心を狙ったときの本来のカップイン確率に比べて）８割以上になるのは、一体どの位カップ芯を外した位置を狙うことになのかを計算してみたのが次表です。
第３表：カップイン確率が2割減少する「狙いの外れ」度合い
カップ中心から外れる距離（ｶｯﾌﾟ単位）
パット距離 アベレージレベル 上級プロレベル
0.3 ｍ 0.4 ｶｯﾌﾟ 0.4 ｶｯﾌﾟ
0.6 0.3 0.4
0.9 0.3 0.3
1.2 0.4 0.3
1.5 0.5 0.3
2.0 0.6 0.3
2.5 0.8 0.4
3.0 0.9 0.4
4.0 1.2 0.5
5.0 1.6 0.7
6.0 1.9 0.8
8.0 2.5 1.0
10.0 3.1 1.3
15.0 4.7 1.9
20.0 6.2 2.5
グラフに描いてみるとよく分りますが、上記の表の「確率が２割減になる狙い違い」の狙い幅（カップ単位で表記）は、パットの距離に正比例しています。例えば、アベレージレベルでは5ｍのパットの時は狙いが1.6カップ狂ってもカップイン確率は２割しか悪くならないのが、10ｍのパットではそれが約2倍の3.1カップになり、20ｍのパットでは更に2倍（5ｍからすると4倍）の6.2カップとなるといったように奇麗に正比例しています。
ロングパットでは確かに正比例しているのですが、ショートパットになると正比例の関係が崩れて、奇妙に感じるかもしれませんが、なんと「結果が２割よりも悪くならない狙い違い」はアベレージレベルでもプロレベルでも一律に0.3カップよりも小さくなることはない（！）のです。それどころか（特にプロレベルでは顕著に表れていますが）、パット距離が短くなって0.9ｍを割るようになると、「狙い違い（の許容度）」は逆に0.3カップよりも大きくなってしまいます。
このことは、表だけを見ていると一見奇妙に思えますが、実際の現象を頭に描いてみれば、別に不思議でもなんでもありません。例えば、30cm程度の距離のパットで、もし、狙った目標方向から左右に±1cm以上は絶対に外さないと自信を持っている人がいたとすれば、その人はカップのど真ん中を狙おうが、わざと真ん中から3cm外したところを狙おうが必ずカップインしてしまうのですから、確率はどちらも100％で全く変わりません。つまり、30cmくらいの極近のパットでは、左右にばらつかずに正確に打てる人であるほど、「狙い違いの許容度」は0.5カップ（＝カップの縁ぎりぎりを狙う）に漸近していくことになります。表のプロレベルの数字が0.3カップを最少値として、30cmのパットでは逆に0.4カップと大きくなったのは、このためです。
上記の表は、「本来狙わなくてはいけない正しい目標方向から、どのくらい間違ってずれて狙ってしまうと、カップインする確率が（本来のカップイン確率に比べて）２割ダウンするか」という限界値を表していますから、別の言い方をすれば、「『狙い幅』（ライン）はどの程度の精度で読めば十分なのか」を示しているとも言えます。従って、この表が示唆する結論は次のようになります。
「たとえ『人間の限界』に近い正確さで目標方向に打つことができる人にとっても、ラインを読む（狙い幅の）精度は、どんな（に短い）距離のパットであろうが、±0.3カップ（＝3cm）の誤差範囲に入っていれば実用上十分であり、それ以上に読みの精度を上げたところで、得られる成果は限定的である」
もう少し細かく言えば、上記の第３表からは次のようなことが分ります。
● アマ（アベレージレベル）では1.5ｍの距離、プロでは4ｍの距離のパットでは、狙いを半カップ間違う（狙いの誤差）と確率が２割ダウンしてしまう。
● 上記の距離よりもパットが短くなると、当然、許容される狙いの誤差も小さくなるが、ただし、最も厳しい誤差精度でも±0.3カップ（＝3ｃｍ）を下回ることはない。
● （狙いの許容誤差が±1カップ以上となることを一つの目安とすれば、）アマでは4ｍ、プロでは8ｍよりも長いパットでは（狙いの許容誤差が十分大きいので）、狙いを計算式で計算するまでもなく、経験に基づく「勘」によりラインの読み（狙い幅）を決めることで十分である。
● 以上のことから、センチメートルの単位で「狙い幅」を正確に決める必要があるのはせいぜい4ｍまでのパットであり、4ｍよりも長いパットの「狙い幅」は半カップ単位で決めることで十分である。10ｍを越えるロングパットとなれば、1カップ単位で「狙い幅」を読めば十分な精度である。
正確無比な狙いを算出する方法を求めて「パット・エイミング教本」を読んでいただいた方には、これらの結論は少々拍子抜けする内容に聞こえるかもしれませんが、決してそうではありません。上記の「許容誤差が±３cm」という意味は、「努力して決めたターゲットポイント（＝１つの小さな点）が『結果として』真の正解のターゲットポイントから外れていたとしても誤差が±3cmの範囲で収まっているならば、入る確率はほとんど（8割以上）変わらない」ということを言っているのであって、ターゲットポイントを大ざっぱに「3cm単位」で決めればよいという意味ではありません。パターで狙いを定める目標点（ターゲットポイント）は相変わらず小さな一つの点であるべきで、その１点とボールを結んだ細い線を外さないよう細心の注意を払いながらパットは打たれなければなりません（「細心の注意を払いながら打った」ときにボールがどのくらいのバラつきで収まるかの確率分布が、数値モデルや分析の大前提となっているのですから、もし、狙いが一点に定まらない状態で「何となくその辺り」といったような、ぼやーっとした広がりのある「目標範囲」に向かって、しかもそのぼやーっととした目標範囲の中のどこにパターを向けているかもはっきり分からないような曖昧な狙い方をしているのであれば、ここで論じている確率とは全く違ったものになってしまいます）。
グリーンのスティンプ値の推測値にも5％程度の誤差は楽にありますし、斜面の勾配の読みも15％程度の誤差は避けられないと思いますから、二つの値を掛け合わせた計算結果の「狙い幅」を±3cmの誤差の中に収めることは、決して簡単なことではありません。むしろ、かなり訓練して、勾配を相当正確に読めるようにならない限り、±3cm以内の誤差を達成することはできないのではないでしょうか。
パッティングがまだまだ発展途上にあるゴルファーに対して、熱心に狙いの技術（グリーンの読み方等々）のことを説こうとしても、本人も含めほとんどの人が「狙ったって、そこに打てないんだから、今はまだ、狙いを読む方法を勉強したって全然意味ないよ」といった言い訳（反論？）を口にすることが多いのですが、ある意味では、第３表の結果はこれらの言い訳を肯定しているともいえます。パッティング技量がある一定レベル以上でないと、どんなに「狙い方」だけが正確に読めるようになったところで、残念ながら、パット総数やスコアやハンデキャップを減らすことができるといったような華々しい成果はほとんど期待できない、ということを表しているとも言えるでしょう。
パットの距離が長くなっていくとワンパットでカップインする確率は急激に小さくなっていきますので、当然、パットの目的が「カップインを狙う」というものから「十分寄せて、３パットはしない」という方針に変わっていきます。カップインを狙うときには、「カップに届かなければ入らない！」（Never up, never in!)という意識があるために、カップを30cm程度オーバーするように狙うプレーヤーは多いですが、寄せるパットの場合には、（入るかもしれないが）大きく行き過ぎてしまうよりは、カップには届かなくても十分短い距離が残るほうが有利との考えから、カップに対してジャストタッチの距離感で打てば、３パットが少なくなると思われています。このことを検証する目的で「パット確率シミュレーター（数値モデル）」を使い、アベレージゴルファーとプロレベルについて計算してみたのが次表です。
表中の「距離確率」とは、方向さえ良かったらカップインするはずと判定される距離（カップ中心から－5cm～＋125cm）にボールを止めることができる確率のことです。「90cm以内」とはカップ中心から－95cm～＋95cmにボールが止まる確率を表しています。（カップの半径が5cmであるために、90＋5＝95cmなどとしてあります）
第４-Ａ表： 30cmオーバー狙いとジャストタッチ狙いの比較
（アベレージゴルファーの「距離確率」の比較）
30cmオーバー狙い ジャストタッチ狙い
ﾊﾟｯﾄ距離 距離確率 90cm以内 距離確率 90cm以内
ｍ ％ ％ ％ ％
1.5 86.0 85.1 61.8 97.4
2.0 75.2 79.2 58.9 92.6
2.5 65.8 74.6 57.0 86.9
3 58.0 70.7 55.4 81.0
4 46.4 63.6 51.6 69.6
5 38.5 57.1 47.1 60.0
6 32.7 51.4 42.7 52.2
8 25.2 42.0 35.1 41.0
10 20.4 35.2 29.4 33.6
15 13.8 24.7 20.5 22.9
20 10.4 18.9 15.7 17.3
第４-Ｂ表： 30cmオーバー狙いとジャストタッチ狙いの比較
（プロレベルの「距離確率」の比較）
30cmオーバー狙い ジャストタッチ狙い
ﾊﾟｯﾄ距離 距離確率 90cm以内 距離確率 90cm以内
ｍ ％ ％ ％ ％
1.5 99.9 100.0 77.3 100.0
2.0 99.7 100.0 71.3 100.0
2.5 98.9 99.9 67.4 100.0
3 97.3 99.8 64.6 100.0
4 93.0 98.5 61.0 100.0
5 88.1 96.1 58.9 99.7
6 83.0 93.0 57.4 98.5
8 73.1 86.2 54.8 93.2
10 64.3 79.1 51.7 85.6
15 47.9 63.3 42.9 67.0
20 37.6 51.4 35.3 53.5
第４-Ａ，Ｂ表から次のようなことが分かります。
１． ワンパットで決める確率については、アベレージレベルでは、2ｍ以下のパットで、30cmオーバー狙いのほうがジャストタッチより明確に確率が高くなる。しかし、3ｍ以上になると逆転し、むしろジャストタッチの確率のほうが（ワンパットで決める確率においても）有利になってしまう。それとは対照的に、プロレベルでは、ロングパットも含めて（常に）30cmオーバーで狙うほうがジャストタッチより有利である（ただし、20ｍもの距離になればほとんど差はなくなる）。
２． カップから±90cmの範囲にボールが止まる確率（＝セカンドパットが90cm以内）については、アベレージではショートパットから6ｍまではジャストタッチのほうが30cmオーバー狙いより有利であるが、それ以上のロングパットでは優劣の差はほとんどなくなる。プロレベルでも全ての距離でジャストタッチのほうがわずか優位のようにも見えるが、むしろほとんど優劣差はないというべき程度である（敢えて言えば、6～10ｍのミドルパットではジャストタッチがやや有利）。
３． アベレージゴルファーは、10ｍを越えるロングパットになると、「90cm以内に寄せる」確率自体が低くなってしまうため、ジャストタッチで打っている限り、距離感の確率については「十分短いセカンドパットが残る」確率も「ワンパットでカップインできる」確率もほとんど同じである。プロレベルでは、どんな距離のパットでも常に「ワンパットでカップインできる」距離確率よりも「短いセカンドパットが残る」確率のほうが顕著に高くなる。
４． 上記１～３の結果から（ワンパット確率と90cm以内に寄せる確率を総合して考えると）、アベレージレベルは、2ｍ以下のパットは30cmオーバーする狙い方をすべきであるが、2ｍよりも長い距離のパットはカップまでのジャストタッチで狙うべきである。プロレベルについては全てのパットについて30cmオーバーで狙うべきである。
上記１のような現象が起きる理由としては、ショートパットでは、アベレージレベルでもカップを120cm以上オーバーするほど強く打ってしまうミスは少ないので、狙いよりも多少ショートしようがカップイン可能な30cmオーバー狙いのほうがジャストタッチよりもトータルのカップイン確率が上がるためだろうと理解できます。
真っ直ぐ転がるフラットなグリーンにおける、ワンパットでカップインする確率（第１、２表）と、どの位の距離のセカンドパットが残るかという確率分布（第４表）が分りましたので、この二つの確率からフラットなグリーンにおける「３パットをしてしまう確率」が計算できます。具体的にどのように計算するのかというと、例えば、20ｍのパットを例にすると、85cm～95cmの距離のセカンドパットが残る確率（P)を（第４表のように）算出し、90cmの距離のセカンドパットをカップインさせる確率（Q)（第１、２表参照）を掛け合わせた確率PQは「20ｍのファーストパットを打って、セカンドパットが90cm残り、かつ、そのセカンドパットがカップイン（合計２パット）する」確率ですから、このPQ確率を（90cmだけでなく）全ての距離について計算して、それらを全部合計したものが、「20mのパットを２パットで収める」確率となります。100％からこの「２パット（以内）で収める」確率を引いた残りのパーセントが「３パットしてしまう」確率です。（正確には「３パット以上」ですが、アベレージレベル以上で４パットとなる確率は非常にわずかですので無視することにします）
このようにして計算された「３パットしてしまう」確率をまとめたのが下記の第５表です。
（ちなみに、計算の仕方は文章で書くと膨大な計算をしているように感じるかもしれませんが、Excelなどのパソコンの表計算ソフトに単純な式を組むことで、あっという間に答えを出してくれます）
第５表：３パットとなる確率
アベレージゴルファー プロレベル
ﾊﾟｯﾄ距離 ｼﾞｬｽﾄﾀｯﾁ 期待ﾊﾟｯﾄ数 ｼﾞｬｽﾄﾀｯﾁ 期待ﾊﾟｯﾄ数 ﾊﾟｯﾄ数の差
ｍ ％ 打 ％ 打 打
0.3 0.6 1.01 0.0 1.00 0.01
0.6 0.9 1.11 0.0 1.00 0.11
0.9 2.0 1.32 0.0 1.01 0.31
1.2 4.3 1.50 0.0 1.05 0.45
1.5 7.7 1.66 0.0 1.11 0.55
2.0 13.1 1.85 0.0 1.23 0.62
2.5 19.1 1.99 0.0 1.34 0.65
3 25.0 2.10 0.0 1.44 0.66
4 34.4 2.25 0.6 1.59 0.66
5 42.7 2.37 0.6 1.68 0.69
6 49.3 2.45 0.7 1.75 0.70
8 59.4 2.57 1.1 1.84 0.73
10 66.9 2.66 1.8 1.90 0.76
15 78.7 2.78 5.0 1.99 0.79
20 85.0 2.85 9.1 2.06 0.79
パットの距離それぞれについて、ワンパットの確率、２パットの確率、３パットの確率が分りますので、その距離からは平均何パットで上がることができるかという『期待パット打数』が計算できますので、第５表には、その期待パット打数も記載してあります。
第５表を眺めると次のようなことが分ります。
１． アマとプロのパッティングを決定的に分けるのは、「３パットする確率」である。８ｍ以下のパットで
プロが３パットしてしまう確率は、90回に１回以下である。それに対して（同じ8ｍ以下のパットを）アベレージゴルファーが３パットしてしまう確率は、なんとプロの50倍にもなる！
２． アベレージゴルファーは6ｍの距離のパットを、３パットしてしまう確率はほぼ五分五分で、6ｍを越すと確率は急激に高くなり、20ｍのロングパットともなると、実に85％の確率で３パットしてしまう。
３． プロレベルでも、さすがに10ｍを越えると、３パットの可能性は急に上がるが、それでも、20ｍのパットを３パットする確率は10回に1回以下である。
４． アベレージゴルファーがグリーンにオンした時のファーストパットの距離の平均を仮に3ｍとすると、第５表の期待パット数2.10打に18ホールを掛けて、１ラウンド当りの総パット数は37.8打となる（仮に4ｍが平均距離だとすると、総パット数は40.5打）。 アイアンショットの調子が悪くてパーオンせず、アプローチを寄せることが多い時のラウンドなどで、ファーストパットの距離の平均が2ｍに縮まったとすると、1.85打ｘ18ホール＝33.3打となる。この計算を裏返しすると、もしパッティングの技量はアベレージレベルのままで、パット総数30打を切りたいのであれば、パット距離の平均を1.5ｍになるようアイアンとアプローチの精度を上げなければならない。（アマの場合、グリーンを「こぼして」しまうことが多いため、ほとんどのホールがエッジから寄せるという場合もあるので、ファーストパットの距離の平均が1.5ｍになることもあり得ないことではない）
５． プロレベルのファーストパットの平均距離を仮に2.5ｍとすると、１ラウンド当りの総パット数は24.1打である。平均距離が3ｍと4ｍの場合には、それぞれ総パット数が25.9打、28.6打となる。従って、仮にプロの平均パット距離が3ｍで、アマの平均パット距離が4ｍだと仮定したならば、プロとアマとの総パット数の差は実に、40.5－25.9＝14.6打にもなってしまう。平均パット距離がプロとアマと同じ4ｍだと仮定しても、それでも総パット数の差は11.9打もある。
６． 感覚的にはファーストパットの距離の平均は2ｍ～4ｍの範囲ではないかと思われるが、この範囲でのプロとアマの期待パット数の差は0.6打(／ホール)強とほぼ一定の値となっている。従って、もしアマがラウンドする時に、パットだけをプロが代わりに打つという変則プレーをしたならば、11打程度はスコアが縮まることになる。（つまり、パットをプロ並に上達させることで、スコアを11減らすことができる効果がある）
以上、確率を計算することで見えてきた諸々の特性をながながと書いてきましたが、ここまで述べてきたことは全て「真っ直ぐ転がるフラットなグリーンでのパッティング」に関してだけであって、（実際には「真っ直ぐ転がるパット」は非常に少ないので）パッティング全体からすると、ごく限られた特殊な場合だけを説明したに過ぎません。「わずかに曲がる」ないしは「やや曲がる」程度のパッティングについては、「真っ直ぐ」の場合の諸特性がほぼそのまま当てはまりますが、「普通に曲がる」程度になると、様相が一変してきます。特に「極端に大きく曲がる」パッティングの確率を取扱うには、全く異なる「考え方」が必要となります。
従って、以下に、引き続き「曲がるパットの確率」の説明に入っていきますが、まずは、新たな「考え方」の説明から始めることにします。
（※注： この回答は、まだ『書きかけ』です。完結までにはまだかなりの長文となり、相当な時間が掛かることが想定されますので、とりあえず、途中までの回答（前編）を掲載させていただきました。今後掲載します完結部分（後編）につきましては、申し訳ありませんが、いま暫くお待ち下さい。）
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２０１０年１２月０３日 （その他全般について）
Q: プラムボブ（吊り下げたパターを片目で見通す動作）でラインが読めるのでしょうか？ 腕を前に伸ばして、顔の前にパターを吊り下げ、片目をつぶってラインを見ているような仕草（Plumb Bobbing)をする人がいますが、何か役に立つのでしょうか？ 役立つのだとするとどのように使うのがいいのでしょうか？
教本では垂らしたパターを見通す行為を、「はじめに」の冒頭部で『なにやら怪しげな方法だったりして（役に立たない）』と酷評しておきながら、第二章の末尾では「基準となる鉛直線を得るには良い方法だ」といった何やらお奨めのようにも取れる内容のことが書かれています。一体どっちなのでしょうか？
Ａ： もしあなたが、正しい鉛直線が得られることで、それを基準としてライン読みの精度を上げることができる方法を確立されているのであれば、プラムボビングは十分役立つ方法だと思いますが、私の知る限り、プラムラインメソッド等々と呼ばれている方法の中で、正しく論理的にかつ「定量的に」ラインの曲がり幅を読むことができるものはありません。
錯覚に惑わされないように鉛直線を参照するという目的のためであれば、正しいパターの垂らし方を工夫しましょう。視認誤差を防ぐ目的に関しては、正しく行われさえすれば、プラムボブは有効で強力なツールにもなります。
プラムボブとよく似ていますが、パターの上と下の両方を持って目の前にかざす仕草は、多くはパターのシャフトをボールとターゲットの両方に合わせて見通し、その線上にある目標用のスパットを探していたり、あるいは既に見つけたスパットを最終確認でターゲットライン上に乗っているかどうかを確かめているのであって、いわゆる（曲がるラインが読めると称されている）プラムボブとは根本的に違う行為です。以下の説明はプラムボブに関する議論に限定しています。
プラムボビング(plumb bobbing)と呼ばれる、この行為の目的は、たった一つです。ルール上、水準器などは使えないので、パターを使って視差や錯覚などに惑わされることのない、間違いない『鉛直線』を得るためにやっているのです。ところが、その先の「じぁ、鉛直線が分ったら、その情報を何にどのように使うのか？」ということになると、「感覚的なことだから説明できない」と答える人がほとんどで、おぼろげながら説明してくれる人達でもそれぞれ全くバラバラなことを言いますので、聞いているほうは、わけがわからなくなり、迷宮に迷い込みます。
きちっと鉛直線を与えてくれるようにプラムボブを正しく行うには、予め自宅でグリップ部の何処をどのような指の形で摘まみ、パターフェースがどの方向を向いている状態で、シャフトの線が正しく鉛直線となるのかを確かめておかなければなりません。シャフトにはテーパー（先細のこと）が掛かっているので、シャフトの右側面を見るのか左側面を見るのかも決めておかなければなりません。柱やドアフレーム、壁のコーナーなどの鉛直なラインとシャフトの線とを比較しながら、正しく鉛直を示す指の位置を探し出し、そのグリップの場所に目印を書き込みます。
このような準備を一切せず、パターヘッドの向きなどお構いなしに、ただパターを顔の前にぶら下げている人達は全て「偽プラムボミング」です。集中力を高めるためとか様々な（本人だけの精神的な）理由からルーティーン動作の一部になっているだけのことです。
プラムボブをする人は、ほとんど例外なくボールの後ろに回り、カップを見通すようにして行っているので、プラムボブで得られる鉛直線を基準として使って、カップに向かうパッティングラインと直交する方向の斜面の傾き具合を読んでいるはずです。（この時、いわゆる「従来方法」によって「曲がるライン」を読んでいるわけですが、普通、何をどのように読むのかについては、この『よくある質問Q&A』の質問「花模様+焦点でのラインの読みと従来からのラインの読みとは何が違うのでしょうか？」に対する回答を参照して下さい。）
プラムボブの利用がここまででとどまっているのであれば、従来方法のラインの読み方をする方にとっては、なるべく視差や錯覚を防止しようとする取組みの一つの方法として十分活用できるものであろうと思われます。
しかし、ここから更にプラムボムの利用法を発展させ、ボールが曲がる方向と曲がる幅が定量的に読み取れる方法（プラムラインメソッドなどと称される）があると提唱する人達がいます。大体次のような手順・方法だと説明されていることが多いようです。
１． まず、ボールの後ろに両足を広げてカップ方向に正対して立ち、パターの上部を右手で、下部を左手で摘まみ、顔と身体の前に真っ直ぐかざし、パターのシャフトがボールとカップをきちんと結んでいることを確認する。
２． その姿勢のまま、パター下部を支えていた左手をそっと放すと、パターシャフトが振り子のように動き、鉛直線となるところで止まる。（左側が高くなっている斜面、つまりスライスラインの場合、手を放すとパターの下部は右方向に振れる）
３． 鉛直となったシャフトがボールを通るようにパター全体を（上部を持っている）右手でそっと横にスライドさせる。（左側が高くなっている斜面では、パター全体を左側に移動することになる）
４． シャフトが示す方向がボールを打ち出す方向となる。
この手順を実施しようとしても、ほとんどの人は決してその通りにいきませんし、また手順を首尾よく最後までできた人でも、肝心の打ったボールはカップに寄っていくように感じられないのではないかと思います。
それは、理論的な目で検証すると上記の手順には大きな落し穴が潜んでいるからなのです。
【落し穴＃１】
「身体の芯に合わせて真っ直ぐ正面にかざしたパターの下部を放すとパターが鉛直になるまで振れる」という部分が最初の（そして最大の？）落し穴です。
この方法の提唱者は明らかに「人は斜面に立つと、必ず斜面に（正確に）垂直に立つ」と思い込んでいるため（確かに、中にはそのような特殊能力を持った人もいることは否定しません）、手を放せば必ずパターは『動く』と決めつけていますが、実際には、多くの人は（特に無意識の時には）身体が斜めになっているのは心地よくないので自然に身体を鉛直に立てようとするために、パターは最初からほぼ鉛直状態になっていますから、下を摘まんでいた手を放しても、パターはほとんど動いてくれません。
三半規管などの平衡感覚を司る器官は身体（頭）が鉛直に立っているかどうかとか広げた両手が水平になっているかなどは自然に精度よく認識できますが、任意の角度に傾いた斜面に身体が垂直かどうかを検知する器官はありません。恐らく、両足を等しく開いて身体の左右の筋肉を調和して緊張させることによって恰も三脚を立てるかのように人間も斜面に垂直に立つことができると考えているのかもしれませんが、たとえ「斜面に垂直に立ってやるぞ！」と意気込んで立ったみたところで、十分な精度で垂直に立つことはとても期待できないはずです。
身体自体を垂直に立てる代わりに、「下を摘まんでいるパターを、眼で見ている（カップ周りの）斜面に対して垂直な方向にかざす」という方法に変更するのであれば、プラムラインメソッドが目的としていた第一番目の手順をとりあえず達成できるのではないかと思います。
【落し穴＃２】
仮に、「落し穴＃1」を無視して、実際に手順1で斜面に垂直にパターをセットすることができ、手を放したら想定どおりにパターは鉛直の位置まで振れたとします。この時にパターが動く角度（垂直方向と鉛直方向との角度差）は理論的には斜面の傾斜角に等しくなります。斜面の傾斜角と狙い目標の（方向）角度とは同じ値ではありませんから、「（振れて）鉛直になったパターシャフトの方向（が狙い幅を示しているから、その方向）にボールを打ち出せばよい」という手順も大きな落し穴です。
例えば、標準的な速さ（8.5ft.）のグリーンで標準的な傾斜勾配2/100（角度は1.2度）の時には、標準的な曲がり方となって、狙い幅（カップ真横の狙い目標までの長さ）はパット距離の1/10（角度は5.8度）の長さとなります。この時にプラムボムで「打ち出し方向」を決めたとすると、パターシャフトは斜面勾配の2/100の角度（1.2度）だけカップに向かう直線から外に逸れた直線となるのに対して、本当の正しい狙い目標に向けて打ち出さなければいけない角度は5.8度（10％勾配）と５倍も大きいのです。
しかも、プラムラインメソッドはスティンプ値を一切考慮していませんから、同じ傾斜であればスティンプ値が非常に大きくなった時でも全く同じ角度（狙い幅）でパットを打ち出せとの結論を出すのですから、上記の５倍もの格差は更に大きくなってしまいます。
このような落し穴があるためにプラムボビングでは『定量的な』狙い幅（ラインの読み）を得ることはできません。しかし、理論的にプラムボビングができることの限界を十分把握して適切に使用しさえすれば、狙いに関する『定性的な』情報（例えば、傾斜が左右どちらに傾いているのか、等々）を得たり、視差による勘違いを防止したりするツールとして利用することは可能です。
プラムボブでパターシャフトが示す斜面の角度は、パットの狙い角度に比べると非常に微小と言えます。教本にあるように、一般的なグリーンでは勾配が1/200からボールが曲がり始め、1/100勾配で「やや曲がる」、2/100で「普通に曲がる」、．．．といった具合に、勾配が1/100単位で変化しただけで曲がり方には顕著な差が出ます。それだけ微妙な角度の差を、パターのシャフトの線から読み取らなければならないのにも拘わらず、シャフトのテーパー（1/150ほどついているのが普通）を気にもせず、シャフトの右側の線を使うのか、左側の線を使うのかも決めていないようでは、プラムボブをやっていることの意味はほとんど失われてしまいます。
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２０１０年１２月０２日 （第二、三章 関連）
Q: 斜面でのスティンプ値測定はなぜ上り距離と下り距離の算術平均（＝中間点）ではだめなのですか？ どうして調和平均（＝逆数の算術平均の逆数）となるのでしょうか？
芝の管理をするグリーンキーパーやコース整備係員と違い、スティンプメーターで測定することなどない一般のゴルファーにとって、第二章の「パット・トリビア」に書かれている、２ＵＤ／（Ｕ＋Ｄ）の式を頭に入れておくことは何か意味があるのでしょうか？
Ａ： 勾配が1/50（標準的な傾斜）を越さない斜面でスティンプメーターの測定を行うのであれば、上りの転がり距離と下りの転がり距離を足して２で割った単純平均（算術平均）でも実用上は大した誤差とはなりません。
なぜ正しいスティンプ値が斜面の上り下りの二つの測定値の『調和平均』で与えられるのか理由を理解することは、グリーン上のボールの挙動のおおもとの原理・原則の理論を理解することにつながります。
（※注： 以下の説明は数式などが多用され、やや「学術的(?)」過ぎるような内容のところがありますので、一般の方々は、多くの数式は飛ばして、ところどころに書いてある結論部分だけを拾い読みされるとよいでしょう。）
学校の数学で出てきた相加平均（＝算術平均）、相乗平均、調和平均を覚えている人は、斜面での上りと下りの転がり距離の測定値から平地での転がり距離（スティンプ値）を求める式を一目見れば、上りと下りの二つの値の調和平均を求めていることに直ぐ気づいたことと思います。全く同じ強さで打たれたパットが、平地で転がる距離をＳ、斜面真下から真上に転がる距離をＵ、斜面真上から真下に転がる距離をＤとすると、下の式のようにＳはＵとＤの調和平均となっていることが分ります。
１／Ｓ ＝ （１／Ｕ ＋ １／Ｄ）／２ ＝ （Ｕ＋Ｄ）／２ＵＤ
どういう時に算術平均ではなく調和平均となるのかの一番身近な例は、次のような平均速度を求める問題でしょう。
例えば、「太郎君は少し離れたところに住んでいるお祖母さんの家に品物を届けるために往きは早足で６km/時の速度で歩き、帰りはぶらぶらと３km/時の速度で歩きました。往復合わせると太郎君は平均何km/時で歩いたのでしょう？」という問題では、つい、3km/時と6km/時の単純平均の4.5km/時が答えだと思ってしまいますが、正解は調和平均である4km/時となります。仮にお祖母さんの家までの距離が3kmだったとすると、往路に掛かった時間は30分で復路に掛かった時間は1時間ですから、往復を合計すると、6kmの道を1時間30分で歩いたことになりますので、平均速度は4km/時となるのです。
平均速度ではなく平均時間を求める問題もちょうど裏表をひっくり返した形で、同じ理屈で調和平均となります。次のような例題で考えると分かりやすいかと思います。
「Ａ地点は川の上流にあり、Ｂ地点は川の下流にあります。２地点間を走る船は上りは6時間かかり、下りは3時間で到着します。この船は静水だったら２地点間と同じ距離を何時間で走りますか？」
前問と同様、答えは3時間と6時間の単純平均の4.5時間ではなく、調和平均の4時間となります。仮に２地点間の距離を180kmとすると、上りが6時間かかったので、その時の船の見かけの速度（船速度－川の流れ）は30km/時で、下りは3時間なので、その時の船の見かけ速度（船速度＋川の流れ）は60km/時ですから、流れのない静水での船速度は上り下りの２つの速度の中間値（算術平均）の45km/時であり、川の流れも15km/時であることが分かります。従って、180kmを45km/時で割ると正解は4.5時間と計算されます。掛かる時間（走行時間）は走行速度の逆数（距離÷速度＝走行時間）ですから、静水での船速度が上りと下りの２つの速度の算術平均で求まるので、その逆数である静水での走行時間は調和平均となるのです。
二番目の例題（いわゆる『流水算』の問題）をよく見ると、「スティンプメーターで上り方向では6ｍ転がり、下り方向では3ｍ転がった時に、平地では何ｍ転がるのか（即ち求めるスティンプ値）？」という問題とそっくりであることが分かります。つまり、「走行時間」を「球の転がり距離」に置き換えて、「川の流速」を「グリーン傾斜が球に及ぼす影響」と読み替えれば、二番目の例題は、正に平地換算（例題の「静水」に相当）のスティンプメーター値を上りと下りの転がり距離から求める問題と全く同じになるのです。答えはもうお分かりのように、当然、単純平均の4.5ｍでなく、調和平均の4ｍになります。
（なお、少し分かりづらいかも知れませんが、流水算における「船の絶対速度」はスティンプ値問題では「スティンプメーターが球を打ち出す（毎回同じ）強さ加減」であり、「２地点間の距離」は「芝の抵抗値（いわゆるグリーンの『速さ』）」に相当します）
平地換算のスティンプ値を求める換算式の説明をしましたが、既に気づかれているかと思いますが、この換算式が意味している上りと下りの転がり距離の関係は、なにもスティンプメーターに限られることではなく、そのまま通常のパッティングにも当てはめて考えることができます。上の例（上り3ｍ、下り6ｍ、平地換算4ｍ）で言えば、「斜面の傾斜次第では、全く同じ強さで打ったパットでも、下りのパットは上りのパットの２倍も転がって行ってしまう」という解釈の仕方もありますし、別の捉え方としては「上りのパットが平地でのパットに比べ1/4（25％）短くなるような斜面だと、下りのパットは平地のパットに比べ1/2（50％）も多く転がってしまう」という見方もできるのです。後者の解釈は少し形を変えると「上りのパットがカップ迄の距離の1/3（33％）大きく打たなければいけない斜面の場合、下りのパットではカップ迄の距離を1/3（33％）だけ短く転がるつもりで小さく打たなければいけない」という表現にもなります。この最後の表現の仕方は（なんと！）花模様パターンの真上（12時）からのパットと真下（6時）からのパットは全く同じ仮想カップ（実カップから真上に1/3の距離の位置）を共有するという「花模様・焦点」理論の根幹の考え方がこのスティンプメーターの公式に凝縮されていることを意味しているのです。
スティンプメーターでグリーンを測定する際には、前後方向と左右方向ともに傾斜していない3ｍほどの長さの場所を見つけて実施することになっていますが、現実的にはそのような都合の良い場所はほとんど見つけられないでしょう。従って、必ずといっていいほど行きと帰りの両方向の測定値には差ができてしまいますので、換算式を使わざるを得なくなるのです。同じことは、スタート前の練習グリーンで絶対距離4ｍのパットを試みて、グリーンの速さ（スティンプ値）を推測しようとする際にも言えます。普通だと、なるべく傾斜の少ない場所を選び、水平と思われる方向（等高線の方向）に絶対距離4ｍのパットを打ち出してみることが多いと思われますが、この場合、傾斜に流されて少し横方向にボールが曲がるものの、水平方向の距離は平地での距離とほとんど同じとなりますから、この水平方向の距離が4ｍと比べてどのくらい大きいのか小さいのかを目測することでスティンプ値が推測できます。一方向だけでは不安ですから、180度反対方向からも同一線上に絶対距離4ｍのパットを打ち返してみると、多くの場合、最初の正方向のパットに比べ（明らかに自分の打ち間違いではなく）やや長くなったり、やや短くなったりするものです。練習グリーンではアンデュレーションが多いため水平な部分が少ないこともありますし、斜面を横切る水平方向というのはなかなか正確に読み取れないことも両方向での転がり距離が一致しない一因でしょう。
この練習グリーンの速さを把握するための４ｍの（試しの）パットにおける両方向の距離の差は、なるべく水平に見える場所を選んで行われるのが普通ですから、結果として、せいぜい1～1.5ｍ以内に収まるだろうと思います。
ここで最初の質問である、「上り下りの二つの測定値（ＵとＤ）の単純平均（Ｓ’）と調和平均（Ｓ）とでは、どのくらい誤差ができるのか？」に対する回答を検証するために、Ｓ＝４メートルの場合のＵとＤの値の組合せごとにＳ’や誤差率（Ｓに対する）などを計算したのが次表です。
Ｕの値 Ｄの値 ＵとＤの差 単純平均Ｓ’ Ｓとの誤差率
------ ------ -------- --------- -----------
3.9 ｍ 4.1 ｍ 0.2 ｍ 4.0 ｍ 0.0 ％
3.8 4.22 0.42 4.01 0.3
3.7 4.35 0.65 4.03 0.8
3.6 4.5 0.9 4.05 1.3
3.5 4.67 1.17 4.085 2.1
3.4 4.86 1.46 4.13 3.3
3.3 5.08 1.78 4.19 4.8
3.2 5.33 2.13 4.27 6.8
3.1 5.64 2.54 4.37 9.3
3.0 6.0 3.0 4.5 12.5
この表から分るように、絶対距離４ｍのパットを試みて、往復両方向のボールの転がり距離の差が2メートル以内である場合は、わざわざ二つの値の調和平均を取らなくとも単純平均で計算しても結果の推定スティンプ値に対する誤差は5％以内であるため、実用上は何ら支障がないことが分ります。
スティンプメーターの換算式2UD/(U+D)が実は「花模様・単一焦点」理論の根幹となる出発点であることを既に説明しましたが、この式が導き出される背景となっている考え方についてもう少し突っ込んで説明してみましょう。
ここまでに説明してきたような関係が、「パットの強さ」と「転がり距離」と「斜面の影響」との間に成り立つのは、実は、ボールの挙動は次のような物理法則に従っているはずだとの大前提条件でシミュレーションが構築されているからなのです。
１． パットされた球が止まるのは、芝の抵抗力によってであり、その芝の抵抗力は球の速度に関係なく一定の値である。
（※注： 抵抗力が一定との仮定に基づくことで、「二倍のエネルギーで
打たれたパットは二倍の距離転がる」という、打つ強さと到達距離
との間に正比例の関係が成り立つことになります。打つ強さが一定の場合
（例えばスティンプメーターで転がす場合）には、芝の抵抗力が大きいと
到達距離は短くなるという反比例の関係になりますので、グリーンの速さを
表すスティンプ値は「芝の抵抗力」の逆数（反比例）となります）
２． 斜面に沿ってボールを落とそうと働く重力（の分力）も、芝目（順目や逆目など）がボールに与える力も、上記１．の抵抗力同様に球の速度に関係なく一定の値である。
この１．と２．の大前提条件を使うと、同じエネルギーの値Ｅでパットした時（つまり同じ強さのパットをした時）の転がり距離（Ｓ：平地、上り：Ｕ、下り：Ｄ）は次のような式で表されます。
Ｅ＝ａｒＳ ＝ａ(ｒ＋ｇ）Ｕ ＝ａ（ｒ－ｇ）Ｄ ････ (0)式
ここで、ｒは、上記１．の「芝の抵抗力」
ｇは、上記２．の「斜面の重力又は芝目から作用力」
ａは、力＊距離の積をエネルギーに換算する係数
この式を変形すると、次式になります。
Ｓ＝（１＋ｐ）Ｕ ＝（１－ｐ）Ｄ ･････ (1)式
又は
Ｓ＝Ｕ＋ｐＵ 及び Ｓ＝Ｄ－ｐＤ ･････ (2)式
ここで、ｐは、ｐ＝ｇ／ｒで、「芝の抵抗力」に対する「斜面等の作用力」の割合
(1)式から、ＵとＤとの比率は次式で表されます。
Ｕ／Ｄ ＝（１－ｐ）／（１＋ｐ） ･････ (3)式
ｐ＝（Ｄ－Ｕ）／（Ｄ＋Ｕ） ･････ (3')式
(2)式の二つの式のそれぞれ両辺にＤとＵを乗じて、足し合わせることで、以下のスティンプメーターの換算式が得られます。
Ｓ＝ ２ＵＤ／（Ｕ＋Ｄ） ･････ (4)式
二番目の質問である「なぜスティンプ値の換算式はこの形になるのですか」に対する回答としては、以上のように芝の抵抗力と斜面（重力）の作用力とが共にボールの速度には無関係に一定の値であるという大前提のもとに導きだされたのが上記の(4)式であることで理解していただけると思います。
上り距離Ｕと下り距離Ｄとの間には一体どんな関係があるのかを知るために、(4)式を変形してみると(5)式となり、更に変形すると(6)式が得られます。
Ｄ＝ＳＵ／（２Ｕ－Ｓ） ･････ (5)式
（Ｄ－Ｓ／２）（Ｕ－Ｓ／２）＝Ｓ*Ｓ／４＝一定値 ･･･ (6)式
(6)式を見れば、ＵとＤとはＳの半分の値を漸近線とする双曲線になることが分りますが、４ｍの距離感でパットする場合（Ｓ＝４）の、ＵとＤとの関係をグラフに表したのが下図になります。
Ｕは「４ｍの強さで上り斜面に向かって打ったボールが転がる距離」ですから、実際にはＵが４ｍよりも大きくなることはあり得ないので、グラフではＵが４以上になる部分は破線で示してあります。
グラフ上で、Ｕ（上りパット）が４ｍの時はＤ（下りパット）も４ｍで等しくなることが分りますが、これは斜面の勾配がゼロ、即ち平地のグリーンでのＵとＤの値であることを表しています。斜面の勾配がゼロからだんだん立ってくるに従い、グラフ上の位置はＵ＝４、Ｄ＝４の位置から双曲線の上を左上の方向に移動していきます。（例えば、勾配がきつくなって、上り方向の転がり距離が3ｍに減少すると、下り方向のパットは大きく伸びて6ｍとなってしまうことが分ります）
グラフを見て気づくのは、Ｕの値は２ｍ（Ｓの1/2）より小さくなることはなく、Ｕ＝２のときにはＤは無限大に大きくなってしまうという一瞬あり得ないように感じる異常な形のグラフになっていることです。順を追って考えてみれば別に不思議なことではありません。勾配がだんたんきつくなっていくと上りのパットは元々の芝の抵抗力に加えて重力にも逆らうために合計の抵抗力が大きくなり徐々に短くなっていき、下りのパットは逆に芝の抵抗力が重力の分だけ小さくなるためにどんどん伸びていきます。勾配が更にきつくなっていき、遂には斜面から受ける重力の大きさが芝の抵抗力と同じ大きさになる時が来ます。すると何が起きるかというと、芝の抵抗力は同じ大きさの重力によって相殺されてしまい、合計の抵抗力はゼロになってしまうため、ボールは打ち出された速度のまま何処までも斜面を転がり下りていくのです（この時の勾配が『限界傾斜』）。そしてその時、つまり芝の抵抗力と重力（分力）の大きさが一致した時、上りのパットではあたかも芝の抵抗値が２倍になったと同じ状態になるために、到達距離はちょうど半分の２ｍとなるのです。更に斜面がきつくなって限界傾斜を超えた場合には、もはやボールは斜面に静止することができなくなってしまいます。このため、打たれたボールが『止まる』ことを前提条件として書かれた元々の(0)式が当てはまらない事態となるため、ボールが静止することを前提にして成り立っていたこれらの(0)から(6)の全ての式及び上図のグラフは意味を成さなくなってしまいます。
上記のことから、次のような一つの法則が導かれます。
「ボールが止まる範囲の傾斜においては、上りのパットの狙い（仮想カップ）は、必ずカップまでの距離の２倍以内である」
（例えば、ほとんどボールが止まらないのではないかと思われるような非常に強い傾斜に切ってあるカップに向かって真っ直ぐな上りの1ｍのパットを打つ場合であっても、『絶対に』２ｍを越える距離感で打つことはあり得ないということになります）
ただし、この法則は「花模様・焦点」方法を十分理解している人達にとってはなんら目新しい法則ではありません。なぜならば、上記の法則は「花模様の焦点はパット距離（花模様の半径）の半分以上になることはない」という花模様の当たり前の性質として把握している事項と同じことを言い換えたに過ぎないからです。（焦点距離の２倍が仮想カップの距離ですから、焦点距離がパット距離の半分を超えてしまうと、仮想カップは時計盤の12時よりも更に上に行ってしまい、真上12時の位置から打つパットはカップとは反対の方向に打ち上げなければいけないという「あり得ない」状況になってしまいます）
Ｕ＝Ｓ/２となる状況では、芝の抵抗力ｒと斜面を落ちようとする重力ｇとはちょうど同じ大きさになって、ボールは止まらなくなると説明しました（更に、この時の斜面の勾配を『限界傾斜』と定義することも説明しました）。つまり、芝の抵抗力ｒを斜面に置き換えたとすると、抵抗力ｒに相当するのは限界傾斜の斜面であることが分ります。教本の「段差でのボールの転がり距離とスティンプメーター」に関する説明にあったように限界傾斜は、スティンプメーターの値(cm)の距離で26cmの高低差となる斜面のことですから、例えば、標準的な速さのグリーン（スティンプ値＝8.5フィート）であれば、26／(8.5x30.5)＝0.100で、1/10の勾配であると計算することができます。
何回も例として登場した、Ｕ＝3ｍ、Ｄ＝6ｍ（つまりＵ＝0.75*Ｓ、Ｄ＝1.5*Ｓ）となる場合の斜面の勾配はどのくらいになるのかは、(3')式を使うことで、ｐ＝1/3となり、斜面の重力ｇが芝の抵抗力ｒの1/3となるような斜面であることが分ります。斜面重力と芝の抵抗力の比が1：3ということは、それぞれの力は相当する斜面に置き替えることができますから、つまり、求める斜面の勾配は限界傾斜の1/3の勾配だということになります。上記と同じように、例えば標準的な速さのグリーンであれば、（1/10に1/3を乗じて）勾配は1/30だと決まります。
ｐ＝1/3、つまりｇ：ｒが1：3となる場合には、上の例のように平地の4ｍの強さで打った上りのパットが3ｍになるということから、花模様の真下6時からのパットで仮想カップまでが4ｍ、実カップまでが3ｍのケースに該当することが分りますから、焦点距離は仮想カップ距離の半分である0.5ｍとなることが分ります。パット距離（花模様パターンの半径）3ｍに対して焦点距離が0.5ｍですから、狙い幅はパット距離の17％となります。
上記の例で分るように、ＵとＤとの比率が決まるということは最終的にはパット距離に対する狙い幅の割合が決まるということに等しいのです。そして更に、狙い幅の割合（つまり、「曲がり方の度合い」）は限界傾斜に対する（実際の）斜面の割合(ｐ)だけで決まってしまうということが分ります。つまり、スティンプ値が変動しようが、斜面の傾きが変化しようが、結果としてｐの値さえ変化しなければ、ボールの曲がり方（＝狙い方）は一定のまま何ら変わらないということを意味しています。
教本では、多くのゴルファーが『標準的な曲がり方』だと感じるのは、狙い幅がパット距離の1/10となる場合だろうと説明しましたが、この1/10の標準的曲がり方となる斜面の勾配は限界傾斜に対してどのほどの割合（ｐ）なのでしょうか。
花模様の半径を仮に10とすれば、焦点距離が1ですから、仮想カップ距離は2倍の2となり、Ｓ／Ｕ＝12／10であることから、(1)式からｐ＝0.2と計算されます。従って、「標準的な曲がり方をする」とゴルファーが感じる時というのは、16フィートのガラスの高速グリーンだろうが、超のろい低速グリーンだろうが、それぞれのグリーンの限界傾斜の1/5の勾配になっている場合であるということなのです。具体的には、下の表のようになります。
スティンプ値 限界傾斜 x1/5の傾斜
----------- -------- --------
オーガスタ 16 ft. 5.3/100 1/100
トーナメント 12 7.1/100 1.4/100
標準ゴルフ場 8.5 10.0/100 1/50
低速ゴルフ場 7 12.2/100 1/40
スティンプ値が2倍になるのですから当たり前と言ってしまえばそれまでのことではありますが、やはり、オーガスタのガラスのグリーン（16ft.）ともなりますと、我々が通常慣れているグリーン(8.5ft.)で「たいらよりは心もち傾いているから、ややスライス程度かな」と思うような1/100の傾斜であるにも拘わらず、しっかりと標準的な曲がり方をしてしまうということがこの表から読み取れます。
以上ずいぶん長くなってしまいましたが、最後の質問である「スティンプ値の換算式を知っていると何に役立つのか？」に対する回答としては、あの換算式にはパッティングのボールの挙動に関する理論のエッセンスが凝縮されていて、噛めば噛むほどに味が出てくるスルメのような存在(?)であることがお分かりいただけたのではないかと思います。
最後に、本題からは観点が少々外れますが、60年ほど前に米国のスティンプソン氏がスティンプメーターを考案した時点で、恐らく同時に傾斜地換算式も考えられたのだろうと想像しますが、なぜそこまで考えておきながら、60年間も誰もこの式からパッティングの狙いの理論（エイミング理論）を引き出さなかったのか、私には非常に不思議に感じてなりません。
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２０１０年１１月１９日 （第三章 関連）
Q: 「花模様＋焦点」でのラインの読み方と、従来からのラインの読み方とは何が違うのでしょうか？
ボールの後ろやカップの反対方向から斜面の傾きを見てライン（曲がりの狙い）を直感的に読む従来の方法と、教本が説く「花模様+焦点」による狙い方とでは、当然、方法や手順や思考方法などがまるっきり違っているのは分っていますが、従来の読み方に熟達している人（例えばプロやベテランゴルファーなど）が読んだ結果のラインと、教本の方法から得られる結果のラインとは果たして同じなのでしょうか？ プロ（従来方法の熟達者）達がポンポンとカップインを決めているということは、彼等は従来方法で正しく狙い幅が読めているということですから、教本の方法も間違いなく正しい狙いを与えてくれるというのであれば、その二つの方法（従来方法vs.教本方法）が導き出す「狙い幅」は同じでなければおかしいですよね？
Ａ： もし、従来方法の人が斜面の真横方向（文字盤の3時や6時）からのパットの狙い幅を読んだ結果が、花模様の焦点と同じ（長さ）になると仮定したならば、それ以外の位置（例えば4時から8時、10時から2時など）からのパットについての狙い幅も、誤差は生じますが花模様とほぼ同じ結果を得ることができるでしょう。この誤差については、従来方法の熟達者達は「上りは薄めに狙い、下りは厚めに狙う」という経験則で巧みに修正することで結果として花模様と全く同じ狙い幅を得ていると思われます。
このように従来方法でもベテランは花模様と同じ「狙い幅（方向性の狙い）」を得ることはできますが、花模様の焦点を狙う方法と比べて、決定的に（致命的に？）違う点は、従来方法で得られる「狙い幅」には「距離感（距離の狙い）」の情報が一切何も入っていないため、「距離の狙い」は別の思考回路で別箇に求めなければならない点です。花模様の焦点は「方向性の狙い」と同時に「距離の狙い」も自動的に包含した概念であることが大きく違っています。
従来の方法と一言で言っても、人それぞれで異なっているでしょうから、まず「従来の方法」とはどういうことをして、何を読んでいるのかを説明（確認）することから始めてみましょう。
斜面の真横（時計文字盤で3時や9時）からのパットの場合が一番考えやすいと思います。ボールの後ろやカップの反対側で身を屈めて目を凝らしているのは、ボールとカップを結ぶ直線に対して直交する方向（12時から6時へ）の斜面の傾き具合を見ようとしているはずです。多くの人はカップを通るグリーン上に直角方向の空想の線abを目に浮かべて、3時や6時の位置から見て、そのab線の左右でどのくらい高さが違うかといった感覚から傾斜を判断しているものと思います。（赤色の三角計ABCを参照） こうしてab線の傾きが把握されたならば、「パットの距離(Ｒ)」と「傾斜の大きさ(ab線)」の二つのデータが頭の中で『経験と勘』によって処理され（ボールが曲がって転がっていくラインを目で描きながら考えたりして）、例えば、「カップ右横25cm」などの狙い幅の数字がぽっと頭に浮かんできます。
ベテランは決して「距離が倍なら狙いも倍」という法則を知っていたり意識したりするわけではありませんが、同じ傾斜度合いだと判断しても『経験と勘』で、パットの距離が長くなれば狙いはそれに応じて大きくし、距離が短くなれば狙いも縮めるといった具合に無意識のうちに調整しているのです。
例えば今、ベテランが、標準的な速さ（＝8.5フィート）のグリーンで、標準的な曲がり方になる傾斜角度（＝勾配1/50）だと認識して、距離3ｍの真横3時からのパットの狙いを求めようとしているのなら、彼が思いつく狙い幅（カップ中心からの長さ）は、花模様の焦点距離である30cm（＝2cm/ｍｘ10倍ｘ3ｍ÷2）と同じになるはずです。しかも距離感については、ベテランは経験から「ボールとカップが水平位置にある真横のパットでは、見たままの距離感で打てばよい」との感覚を持っていますから、この真横からのパットの場合は距離感についても花模様での距離感と同じになります。
同じグリーンで同じ3ｍの距離の真横からのパットで、今度は斜面の勾配が半分の1/100に緩くなったり、あるいは倍の1/25（4パーセント勾配）にきつくなったりした場合、ベテランの読みはどう変わるのかというと、頭の中に長年の経験で培った「この位の傾斜だったら、この位曲がる」というイメージができ上がっていて、計算することなく自然に、勾配が半分になれば狙いも少なくなり、勾配が2倍にきつくなれば狙いも大きくなるという対応ができてしまうのです。
人間の脳には「勘」とか「イメージ」とか呼ばれる実に素晴らしい機能があって、長年パッティングを経験することで、直交方向の傾斜度とパットの距離の二つのデータから、本人は法則とか手法とかを全く意識することなく無意識の状態で『何となく』頭の中に「このくらいカップを外すのがいいだろう」という狙いの目標点がぱっと浮かんでくるのです。どうやって頭の中に狙い幅を思いつくかの法則も手順も（本人すら）全く分っていませんから、他の人から「どうして２カップ半右を狙えばいいって分るんですか？」と聞かれたり、あるいは「狙い幅を決める頭の中の方法を是非私に伝授してください」などと頼まれると、返事に窮してしまいうろたえるのが普通ですが、中には、「勘なんだからキッチリと説明したり、教えたりできるわけがないだろ！ プロのように毎日２時間以上練習グリーンの上で努力をすることもしない素人ゴルファーがラインを読めるようになりたいなんて望むのは、10年早いよ！」と逆ギレする人さえいます。
斜面の真横からのパットの場合には、従来方法の習熟者（ベテラン）も花模様焦点法を使う非習熟者も同じ狙い幅を読むことができることを説明しましたが、次に、カップを「斜め方向から狙う」上りや下りのパットではどうなっているか考察してみましょう。
これら斜めのパットの場合にも、ベテラン達は恐らく真横のパットの時と同じ方法で斜面を観察して、かつ同じ「勘（思考回路）」を使って狙い幅を決めているはずです。図では最大傾斜線に対して30度の角度の方向からのパット（5時からの上りのパット又は11時からの下りのパット）をする場合を示しています。真横のパットの場合のab線と同じように、この斜めのパットでも、カップの位置での直交する方向の斜面の傾きst線を（ボールの後ろやカップの反対側から）観察していると考えられます。このst線の見かけの傾きは三角形STP（緑色の三角形）の斜辺の角度で与えられます。図の三角形AOSは一つの角が30度の直角三角形であることが分りますから、辺AOと辺SOとの比率は1：2となっています。従って、赤い三角形の勾配（真横からのパットの直交方向の傾き）に比べ、緑色の三角形の勾配（30度斜めの5時/11時方向のパットの直交方向の傾き）はちょうど1/2になっていることが理解できます。（前述の例では、12時から真下6時への最大傾斜線の勾配は 2/100=1/50でしたから、30度斜めのパットに対する真横からの見掛けの傾斜は半分の1/100となります）
このことから、5時の位置（又は11時の位置）からカップを眺めているベテランの眼には、このパットは、あたかも、勾配が半分（前記の例では1/100）の斜面での真横位置からのパットと同じに見えることが分ります。従って、ベテランはいつもの真横方向のパットでの狙いの「勘」をそのまま活かして、傾斜が半分になった場合の狙い幅を頭に浮かべることになります。つまり（前の例で）真横の3時位置のパットの狙い幅が30cmでしたから、ベテランの直感が正確に働けば、半分の傾きですので、カップ横の狙い幅は15cmに違いないとの結論を出すはずです。
計算がし易いように30度の角度の斜め方向のパットを例として説明しましたが、最大傾斜線から左右に開いた角度（前述の例では30度の角）をαとして、一般の場合を示せば、ベテランの眼に感じる直交方向の傾斜は、実際の斜面の勾配（12時→6時方向の勾配）の正弦sin(α)倍と表すことができます。つまり、真下6時からはsin0°＝0で（当然ですが）水平に見え、5時（30°）からはsin30°＝0.5で半分の傾斜に見え、同様に中間位置(45°)では0.707倍、4時(60°)からでは0.866倍の傾斜に見えるということになります。ですから、これらの倍数を、真横の3時から見たときの狙い幅（前の例では30cm）に掛けて得られる長さ（5時で15cm、中間位置で21cm、4時で26cm）が、ベテラン達の頭の中に思い浮かんでくる「斜め方向のパットの狙い幅」であると結論できます。
こうして得られる「（熟達したベテランの頭に浮かぶであろう）斜め方向のパットの狙い幅」Ｋと花模様焦点距離Ｗがどのような関係にあるのかを示したのが次図です。ボールの位置から焦点Ｗを見通した直線がカップの真横（ボールから見て直交方向）を通る点がＫ'であり、Ｋ'は花模様焦点法から導かれる本来の「狙い幅」です。この図は前の例と同様に、5時からと11時からの二つのパットについてＫとＫ'の関係を描いていますが、ＫとＫ'間の誤差が明確に図解できるようにとの考えで、斜面の勾配を1/20程度に強くして、パットの距離Ｒと焦点距離Ｗの比が4：1というかなり（極端に）曲がる場合を図示しています。
この図で、ベテランが思い浮かべる狙い幅Ｋは、前述の説明のように花模様焦点距離ＷとはＫ＝Ｗ・sin(α)の関係がありますから、カップから直交方向に延びる直線にＷ点から垂線を下ろした交点がいつでも必ずＫ点となります。図から分るように、従来法での狙い点Ｋは、焦点法での（本当の）狙い幅Ｋ'との差はさほど大きくなく、曲がり方が通常程度のグリーンであれば、実用上はＫもＫ'もほとんど同じだといえます。それでもこの図のように（スティンプ値が大きかったり、勾配がきつかったりして）極端に曲がるグリーンにおいては、誤差は無視できない程度に大きくなります。この誤差は、図から理解できるように、上りのパットでは従来法の狙い幅は必ず本来の狙い目標より外側になってしまいますし、下りのパットでは従来法の狙い幅は必ず本来の狙い目標より内側となってしまいます。（驚くべきことに）従来方法の読みで生じるこの誤差については、ベテラン達は昔から気づいていて、正しい狙い幅を得るための実に巧妙な調節方法を実施していたのです。それがよく耳にする次のような格言となっています。
「上りのラインは見ためより曲がらない。下りのラインは見ためより大きく曲がる」
あるいは
「上りのパットでは『思ったより』薄めに狙わなければならない。逆に、下りのパットでは『思ったより』厚めに狙わなければならない」
中学校で幾何学や図形問題が好きだった人は上の図からＫとＫ'との誤差が図中の計算式で与えられることをすぐに導き出せると思いますが、この計算式を使って、具体的に誤差がどのくらいになるか計算してみましょう。標準速さ（8.5フィート）のグリーン上で5時からの上りの3ｍのパットと、11時からの下りの3ｍのパットで、全体の斜面の勾配が標準的（1/50）と極端にきつい1/20の場合とでの計算結果は次のようになります。この表での「狙い幅」はカップの中心からではなく、カップ端からの長さ（つまりカップの半径の5cmが差し引いてある）で表示してあります。
勾配1/50のグリーン上での3ｍのパット：
Ｋ Ｋ' 見かけの誤差％
5時の上りパット 10.0cm 8.8cm 12％
11時の下りパット 10.0cm 11.4cm 14％
勾配1/20のグリーン上での3ｍのパット：
Ｋ Ｋ' 見かけの誤差％
5時の上りパット 32.5cm 25.8cm 21％
11時の下りパット 32.5cm 42.9cm 32％
この計算結果から分るように、従来方法の読み方をする人にとって、標準的に曲がるグリーンでのパットについては「上り薄め、下り厚め」の調整はほとんどする必要はありませんが、相当曲がるグリーンでのパットでは、下りについては3ｍの距離で（自分の感覚よりも）１カップも外を狙うようになり、上りの3ｍのパットは半カップほど内側を狙うようにすべきであることが分ります。
このＫとＫ'の誤差はどうして生じるのでしょう。それは、例えば5時からの上りのパットであれば、上りのパットであるのにもかかわらず、あたかも真横方向（3時や9時の位置）からの水平なパットであると見なして直交方向からの曲がり要素しか考慮に入れていないために生じる誤差なのです。
5時（最大傾斜線から30度）から打たれたボールには傾斜により重力が最大傾斜線の方向にかかっていますので、この重力は打ち出し方向に対して直交する「ボールを曲げる」分力と、打ち出し方向に平行な「ボールを押し戻す」分力とに分解されます。二つの分力の強さの比率は（角度が30度となっているため）曲げる分力１：押し戻す分力1.732（3の平方根）となっています。（教本の第三章の「芝目による補正」の項に解説されているベクトルの分解の手法で図解するならば、ちょうど時計が「８時２５分」を差しているときの長針と短針の形を想像して下さい）
「押し戻す分力」がこのように「曲げる分力」の実に倍近くにもなっているにも拘わらず、従来法の読み方の人はこの大きな「押し戻す分力」を完全に無視して、強引に「真横からだけしか曲げる力が働かないライン」だと見做して曲がり方を想像しているのですから、出した答えが実際と食い違ってしまい誤差が生じるのは当然ともいえるのです。5時と11時のパットを完全に(？)「傾斜が真横からきているパット」だと見做して描いたのが下図です。
この図を眺めていると、非常に興味あることが見えてきます。「真横からの分力だけしか考えない時に頭の中で想定するパットライン」と「5時からの上りパットライン」及び「11時からの下りパットライン」という三つのラインの図は、「芝目が全くない場合の斜面真横位置（3時）からの水平なパットライン」と「同じ3時からのパットで、カップ方向からの完全逆目の芝目が存在する場合のライン」及び「同じ3時からのパットで、ボール後方からの完全順目の芝目が存在する場合のライン」の三つのラインを描いた図と全く同じものだということに気づくのです。つまり、5時からの上りのパットというのは、ちょうど次の例のようなパットと同じだということが分ります。
例： 『冨士山周辺のゴルフ場で、グリーンに乗ったボール位置からカップを見通すとカップの真後ろに冨士山が見えることから、カップからもろにボール方向に芝目が向いている相当強い真正面の逆目であることが分る。しかし、斜面の傾斜だけに注目してみると真横（3時又は9時）からのパットだと判断できる。斜面の傾き自体はやや曲がる程度（＝約1/100勾配）なので傾斜からだけの判断ならば狙いは「２カップ横」と読めるのだが、斜面からくる曲がり方に比べて逆目の芝目はかなり強いことを考えると、果たして、この「２カップ横」という狙いをどのように調整したらいいのだろう？ 狙いは増やすべきなのか？ 減らすべきのか？』
正解はもう分りますよね？ 教本の第三章の「芝目」の項でも説明しているように、芝目と斜面がボールの動きに与える影響は全く同等に取り扱うことができますから、斜面に関する前述の格言（「上りは薄く狙い、下りは厚く狙う」）はそのまま芝目にも当てはまります。つまり、斜面（上り下り）に関する格言は次のように言い換えることができます。
「逆目のラインは見ためより曲がらない。順目のラインは見ためより大きく曲がる」
あるいは
「逆目のパットでは『思ったより』薄めに狙わなければならない。逆に、順目のパットでは『思ったより』厚めに狙わなければならない」
上記の例のように、斜面と同時に（斜面とは方向が異なる）芝目が存在する場合、従来方法の読み方の熟達者は、斜面の傾きから勘で得られる狙い幅を様々な「格言」を使って『定性的』に調整して最終的な狙い幅を巧みに決定しているのです。これに対して花模様・焦点方法で読むプレーヤーは、「格言」など一切不要で、いつもと同様に、ただ単に教本の第三章の「芝目による補正」の項のベクトル合成法を使うだけで、しかも『定量的』に狙い目標（及び仮想カップ）を決定することができるのです。
質問の本題からは少し外れますが、ここまで説明してきた、「ボールを押し戻すように働く分力（上り傾斜成分や逆目）は狙いを薄くし、ボールを押すように働く分力（下り傾斜成分や順目）は狙いを厚くする」という性質があることこそが、なぜ「花模様パターンでは、360度どの方向からのパットも打ち出し方向の目標点は一つの焦点に収束する」のかということの説明となっているのです。
質問の本題に戻ると、以上のように（パットの打ち出し）方向の狙いの読みについては、花模様・焦点方法によって決まる「狙い方向」と、従来方法に熟達しているベテラン達が勘と格言（経験則）を駆使して読み取っている「狙い方向」とは結局は同じになっていることが理解できると思います。
しかし、従来法が読み取る「狙い幅」はどんなパットにおいてもカップの真横方向に取る目標点ですので、花模様の焦点と違い「距離感（距離の狙い）」の情報が含まれていないため、従来法では「距離の狙い」は別の思考回路を使い別箇に求めなければならないという大きな相違点があります。更に、花模様・焦点法は広く『面』を読んでいるのに対して、従来方法はカップとボール間の『線』あるいは『点』しか読んでいないということも異なっていますので、従来法では、当然他の人のパットの狙い幅は読めませんし、自分の二打目のパットについても再度ボールの後ろから覗かなければ狙いが決められないという不便さが生じます。
従来方法を使っていて何ら不便を感じないベテランゴルファーにとっては、花模様・焦点方法という新たな読み方をまた一から覚えて、慣れ親しんだ従来方法を捨ててしまうという気にはなれませんから、当然、ほとんどのベテランは（特にプロなどの従来方法による読みに自信がある人ほど）花模様・焦点法には興味を示しません。むしろ、中には「勘に頼らない方法」と聞いた途端に「そんな事を試しにでもやってしまったら、肝心の勘が錆び付いたり消失してしまったりで、二度と元に戻れなくなるぞ」との恐怖を感じて、花模様・焦点方法に嫌悪感を抱く人さえいます。
このようなベテランの方々は、十分正確な勘が働くのですから、焦点距離を算出する計算式や計算方法に一切とらわれる必要はなく、今までどおりに勘に従って曲がり幅を頭に浮かべることがよろしいかと思います。ただ、今回のQ&Aの中で説明したように、従来方法で読んだ「（カップ真横の）狙い幅」を最大傾斜線上に投影すると、それが花模様の焦点であるという関係が成り立っていますので、ベテランの方でも、花模様理論全体を理解していただくことで、従来方法で読んだ「狙い幅」から焦点を特定することができ、焦点が決まれば、花模様パターンが確定しますので、それまでは従来法で『線』でしか捉えていなかった読みが突然に『面』の読みに変貌してしまうという多大なメリットがあると思われます。花模様理論は、このようにベテランの方々の勘と一切バッティング（相反）するものではなく、むしろ勘を働かせた後に更にグリーンに対する読みが一層深くなるように働きますので、従来方法に固執する方にとっても従来方法を補完する形で取り込んでいただくことで、失うものは何もなく、メリットだけを享受することができるはずです。
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２０１０年１１月０９日 （第四章 関連）
Q: 距離の打ち分けについて、教本は「振り上げ幅の二乗に比例」としていますが、今まで私は２倍の距離を転がすならテークバックも２倍にすれば良いと思っていました。単純に「距離＝振り上げ幅」ではないのでしょうか？
「距離は振り上げ幅の二乗に比例する」根拠として、パター自体を振り子として揺らした場合の計算式を挙げていますが、実際には手でパターを（積極的に）動かしているんですから、パターだけを自然に振らした時の理論は全然当てはまらないと思うのですが？
Ａ： パッティングがスムーズに見える人達の距離とテークバックの関係をよく観察してデータ化してみると（テレビのトーナメント中継などでも観察できます）、「距離は振り上げ幅の二乗に比例する」に近いことが実感できると思います。これらの人達は決して意識してそのようなテークバックをするようになったのではなく、無意識のうちに「二乗に比例」に近い動作となったのです。それは、このような打ち方（筋肉や腕や身体の使い方）が人間の自然な動きに基づいているからで、無理のない繰り返し性の強いパッティングを工夫し練習していくうちにこのようなスタイルに自然に収束していったのだと思われます。
パターで打つ代わりにスティンプメーターのような斜路（角度は固定）を使ってボールをグリーン上で転がしてみると、パットの距離と（ボールをスタートさせる位置までの）斜路の長さは正比例します。距離が２倍になったのなら、斜路の長さ（＝高さ）も２倍になります。おそらく多くの人の頭の中には、このようなイメージが強く存在しているための連想だろうと思いますが、パット距離が２倍になったらテークバックも２倍にしてあたかも坂道を下るようなパターの動かし方をすれば、距離の打ち分けは上手くいくはずだと思い込んでいる方がかなりいるようです。
ボールを斜路の下方向に転がそうとする重力（の分力）がボールに掛かりますが、この重力の大きさは斜路の高いところでも低いところでも、斜路のどこでも同じ一定の強さの力が掛かっていて、その一定の強さの力がボールを加速しています。このような物体の運動は等加速度運動と呼ばれます。（ちなみに、自動車や電車など人が乗る乗り物「機械」は発進してから巡航速度に達するまでの間の増速時には、人の乗り心地を考えて等加速度で加速するように設計されます）
上記の斜路の例から分るように、実は「振り幅が距離に正比例する」ためにはパター（ヘッド）が等加速度運動をしていることが絶対に必要な条件になってくるのです。パターを等加速度で加速させるというのは具体的にどういう動作かと言えば、テークバックされて最後端で止まったパターヘッドが動き始める時から、ボールを打つインパクトの瞬間まで、いつも同じ力でパターを押し続けるということになります。しかも、この「同じ力」の大きさは30cmの距離のショートパットを打つ時の小さなテークバックの場合でも、15ｍのロングパットを打つ時の大きなテークバックの場合でも全く同じにしなければなりません。なかには「その力の入れ方は正に僕が目指していている（あるいは、既にやっている）方法だよ！ 簡単じゃん」と言われる方もいると思いますが、人間の身体の特性を考えたならば、一般的にはこれは非常に不自然でかつ無理がかかる動作であって、非常に難しい技なのです。（よく、パットを真っ直ぐ打つためのコツとして、「フェースをスクウェアにしたままで真っ直ぐ直線的にテークバックして、真っ直ぐフォローを取る」と言う人がいますが、本当にこの動作を実現しようとすると肩や腕の動きに合わせて微妙に手首をひねらなければ「スクウェアで真っ直ぐ」にはなりませんから、極めて不自然な動作を強いられることになります。パターに等加速度運動をさせることもちょうど同じように身体の構造がそのように出来ていないために、非常に不自然な動作となるのです）
同じ大きさの力で押し続けることがなぜ不自然なのかは、次のような理由によります。
● 人間の筋肉はちょうどバネやゴム紐と同じように、伸びた状態が縮む時に力を出すようになっているため、適度に伸びている位置で一番強い収縮力が出て、縮みきった位置に近づくに従って力が出なくなります。パターを振らしている筋肉は、振り幅が大きくなるほど伸びている状態と縮んでいる状態との差が大きくなりますから、それだけ伸縮の状態が異なっていても常に同じ強さの力を出すように筋肉を調整することは至難の技であり、上手くいかないことは容易に想像がつきます。
従って筋肉の特性から、パターでボールを打つ動作を考えたときには、パターヘッドは、自動車が発進加速するように動くイメージではなく、むしろ、ピンボールで引いたレバーがバネで引き戻されて球を打ち出すイメージであったり、スリングショットのゴムが縮んで球を打ち出すイメージだったり、あるいは、揺れるブランコ（振り子）に載せた球が最下点で飛びだすようなイメージのほうが近いのです。
● 腕を揺らす動作で最も日常的に行われているのは、歩いているときの「腕の振り」です。歩行時に腕を振る動作が人間にとっては最も慣れていて、身に（染み）付いていて、無意識で、一番無理のないストレスフリーの自然な動作であるはずです。正にあの揺らし方は振り子そのものです。歩いているときにわざと意識して腕にどのような力を入れているか感じてみると、ちょうど振り子やブランコと同じように、振り上げたところで一番力が入り、腕が戻ってくるに従い力は抜けていって、最下点ではほぼ脱力していることが分ると思います。従って、パターを振るときでも、歩くときの腕の動きのようにあたかも振り子のような力配分で腕を揺らすことが一番自然で無理のない動作であって、逆に、左脳からの指令で等加速度を意識して一定の力加減でパターを押し続ける動作は本能に逆らっているといえるのです。
「距離は振り幅に比例する」説（つまり、パターを等加速度運動させること）は人間の身体の特性と相容れないと説明しましたが、現実に多くのプレーヤーの「実感」とも相容れないものがあります。
多くのゴルファーは4ｍ程度の距離のパットは25～30cmくらいテークバックするのが普通（一番感じよく打てる）でしょう。では16～20ｍのパットの場合にテークバックを4～5倍の1ｍ以上もするかといったら、ほぼ絶対にといっていいくらいにそんなに振り上げることはありません。それとは逆で、1ｍ程度の短いパットを打つときには、テークバックが極端に小さくなるかというとそうではなく、プロなどのスムーズなパッティングが出来る人ほど最低でも15cmやそこらのテークバックは取っています。この「実感」は決して「振り幅に比例」ではなく、むしろ「振り幅の二乗に比例」にかなり近いように見えます。
ピンボールの打ち出し機（バネ式）のようなものでゴルフボールをグリーン上に打ち出したとすると、理論的にはレバーの引き代の二乗に転がり距離は比例します。つまり、レバーを２倍引いて発射すれば、ボールは４倍の距離転がって止まることになります。（また、距離が半分になっても７割ほどレバーを引かないと届きません）。 完全な振り子となって動いているパターで打たれたボールも、ピンボールのレバー同様に、理論的に「距離は振り幅の二乗に比例する」ことになります。（別の質問での「パターが振り子の場合の理論式」を参照）
以上のことから、パットの距離はテークバック量の二乗にほぼ比例すると考えるのが妥当との結論になります。更に、「二乗に比例」の法則がより適合するように、自然の摂理に逆らわずに、腕や身体の動きはあたかも自分自身が大きなバネになったような、あるいは大きな振り子になったような感覚で動かすのが良いということになります。具体的には、決して「同じ・一定の」力でパターを押そうと考えることは止め、ダウンスウィングの開始の際の力感は振り幅に応じて大きくするが、インパクトにかけて脱力していき、最下点ではあたかもパターと腕の複合体が惰性だけで動いているようにする．．．．という感覚が「振り子パット」を作りだしてくれるはずです。
振り子式パットを試してみると、短尺パターに比べ、長尺パターは「振り子」動作をはるかに実現しやすく感じるはずです。その理由は、次のような実験をしてみれば理解できます。
教本第六章のSFSS打法のように左手で長尺パターをぶら下げ、30cm後ろに引いた位置で右手を完全に離して、「パター自体の振り子」状態でボールを打たせてみると、1.5～2ｍくらいは転がります。（ちなみに、2m以内のパットに限り重度のイップスになる人には、この完全手放し打法を解決策として奨めています）。 普通に両手を使って長尺で打つ場合に30cmのテークバックを取ったなら4～5ｍほど転がることとを考え合わすと、長尺の場合には、パター自体のボールを打つ力と手で押す力とは1：1に近いことが分かります。つまり、それほど積極的に自分の腕（身体）を振り子式に動かそうと必死にならなくとも、長尺パター自身の動きに身を任せるようにすることで振り子式パットが実現できるのです。
短尺で同様の実験をしてみると、長尺に比べ短尺では「パター自体の振り子」状態で転がる距離はぐっと短くなるため、手でパターを押す力の割合ははるかに大きくなることが分りますから、パター自身の振り子運動に手を合わせるといった動作が短尺ではやり辛くなり、自分自身で振り子になりきる努力がより必要になるのです。
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２０１０年１１月０８日 （第四章 関連）
Q: 「斜面が傾斜している方向にしか芝目はできない」とのゴルフ雑誌の記事がありましたが、そうなんでしょうか？
以前「冨士山周辺のゴルフ場では『冨士山から順目、冨士山に向かって逆目』という説が信じられているが本当か？」という話題を取り上げた記事がゴルフ週刊誌に載ったことがあります。グリーンキーパーやらプロゴルファーなどの賛成・反対のいろいろな意見が書かれていて、最後には「これらの現象は目の錯覚であって、冨士山からの芝目と思われているのは実は傾斜に過ぎない」という意見に記事としては軍配を上げていました。
最近でも米国のゴルフ雑誌で、（ゴルフ中継画面に最適パットラインがCGの青い線で現われる）パッティング解析ソフトAimPointの生みの親Mark Sweeney氏が「人々が信じているような芝目というのは実は存在しない。芝目はあったとしても斜面を水が流れ落ちる方向に向かってついているだけだ」といった趣旨の発言を載せているといいます。芝目については何が真実なのでしょうか？
Ａ： 私の経験した限りでは、傾斜の方向とは明らかに異なる方向にボールを曲げてしまう芝目は存在します。この論争に終止符を打つためには、本物のグリーンの上で器具を使って、『否定しようとしても否定できない』結論を実験で示すことで実証するしかないでしょう。
芝目の存在を信じない人はほとんどいつも洋芝のベントグリーンばかりでプレーしている人ではないでしょうか。高麗芝やバミューダ芝、スズメノカタビラ（ポアナ）などのグリーンでプレーしたことがある人であれば、眼に見えている傾斜とは全く違って、ボールが物理法則を無視した動きをするのを目撃した人は多いはずです。
学術の世界で「○○ということは絶対に存在しない」という学説を証明することは非常に困難なことですが、逆に、そのような学説に対して反証することはいたって簡単で、たった一つ、どんなに例外中の例外だろうが「○○が存在している」という事実を示すことで、その学説が間違っていたことを証明することができます。
ですから、「芝目論争」に関しては、どこか一つのグリーンで斜面通りにボールが転がらない一つの事例を実際の実験で見せることで、論争は「芝目は存在する」ことに決着させることができます。
一番簡単に実証できる実験方法は次のようなものでしょう。
１． 富士山周辺のゴルフ場で、明らかに富士山の方向と直交する方向に傾斜していると見えるグリーンを選びます。
２． 教本の第六章にあるような精密デジタル傾斜計などを使って、最大傾斜線を決定します。
３． ２で判明した最大傾斜線にきっちり沿って下から上へボールをスティンプメーター状の器具で転がします。（パターで打つと左右どちらかの横回転がかかったり、あるいはちゃんと狙った最大傾斜線の方向に真っ直ぐ打てなかったりするため、スティンプメーター状の転がし器具を使うことを奨めます）
この実験を行い、もし３で転がしたボールが真っ直ぐに転がらずに左右いずれかにはっきりと切れていくようであれば、それは「芝目が存在する」ことに他なりません。
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